课时分层训练(四十九)抛物线A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0,2)B．(0,1)C．(2,0)D．(1,0)D[由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]2．(2017·宁波二模)若动圆的圆心在抛物线y＝x2上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点()A．(0,2)B．(0，－3)C．(0,3)D．(0,6)C[直线y＋3＝0是抛物线x2＝12y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．]3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是()A.B.C．1D.B[由双曲线x2－＝1知其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，又y2＝4x的焦点F(1,0)，∴焦点F到直线的距离d＝＝.]4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()【导学号：51062298】A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16xC[由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)．则AF＝，AM＝.由已知得，AF·AM＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5，得＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8.故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4C[如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，1代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，所以|y0|＝2，所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.]二、填空题6．(2017·浙江五校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为__________.【导学号：51062299】8[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y＝x－1.联立消去y得x2－6x＋1＝0.所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]7．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为__________．－[ 点A(－2,3)在抛物线C的准线上．∴－＝－2，∴p＝4，焦点F(2,0)．因此kAF＝＝－.]8．(2017·江西九校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.2[y2＝2px的准线为x＝－.由于△ABF为等边三角形．因此不妨设A，B.又点A，B在双曲线y2－x2＝1，从而－＝1，所以p＝2.]三、解答题9．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，OA·OB＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程.【导学号：51062300】[解](1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，得y2－2pmy＋4p＝0.2分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝＝4，因为OA·OB＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x.6分(2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8.8分设AB的中点为M，则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.①又|AB|＝|y1－y2|＝.②由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，12分解得m2＝3，m＝±，所以直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.15分10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1
