课时作业(十五)直线与抛物线的位置关系A组基础巩固1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点解析： 直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过点(1,0)．又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部．∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0，直线与抛物线有两个公共点．答案：C2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．2B．2C．2D．2解析：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝＝＝2.答案：B3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]解析：准线x＝－2，Q(－2,0)，设l：y＝k(x＋2)，由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)，当k≠0时，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1.综上，k的取值范围是[－1,1]．答案：C4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为()A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0解析：设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，即切线方程为2x－y－1＝0.答案：D5．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于()A．2B.C．2D.解析：设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)、B(x2，y2)．由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0. 直线与抛物线交于A、B两点，∴Δ＝16(k＋2)2－16k2＞0，即k＞－1.又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍)．∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝.＝2.答案：C6．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.B.C.D.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1＞0，x2＞0，y1＞0，y2＞0，由，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4.① |FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②由①②得x2＝1，∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.答案：D7．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．1解析：设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，当m＝0时，y＋y最小为32.答案：328．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．解析：可判断直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离，设y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切，则由消去x得y2－4y＋4m＝0.∴Δ＝16－16m＝0，m＝1.又y＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝＝，则所求的最小距离为.答案：9．给定抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点．若|FA|＝2|BF|，求直线l的方程．解析：显然直线l的斜率存在，故可设直线l：y＝k(x－1)，联立，消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1x2＝1，故x1＝，①又|FA|＝2|BF|，∴FA＝2BF，则x1－1＝2(1－x2)②由①②得x2＝(x2＝1舍去)，所以B，得直线l的斜率为k＝kBF＝±2，∴直线l的方程为y＝±2(x－1)．B组能力提升10．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.解析： F，∴设AB：y＝x－，与y2＝2px联立，得x2－3px＋＝0.∴xA＋xB＝3p.由焦半径公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2.答案：211．已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．解析：设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离为d＝＝＝，当y0＝1时，dmin＝＝，此时x0＝，所以点P的坐标为.答案：12．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．解析：(1)直线AB...
