第9章计数原理、概率、随机变量及其分布第3讲1．(2016·石家庄检测)二项式的展开式中的系数是()A．42B．168C．84D．21解析：选C.二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)7－r·＝C·27－r·x7－2r，由7－2r＝－3可得r＝5，所以含的项的系数为C×22＝84.2．(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝()A．x5B．x5－1C．x5＋1D．(x－1)5－1解析：选B.逆用二项式定理，得原式＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.3．(2016·唐山一模)展开式中的常数项为()A．－8B．－12C．－20D．20解析：选C.由＝，其展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r＝(－1)rCx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，故常数项为(－1)3C＝－20.4．(2016·江西省临川一中等九校联考)若二项式的展开式的第二项的系数为－，则x2dx的值为()A.B．3C．3或D．3或－解析：选A.二项展开式的第二项为T2＝C(ax)5×，则由题意有×Ca5＝－，解得a＝－1，所以x2dx＝x3|＝－－＝.5．(2016·江西省八校联考)若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是()A．－2B．－3C．125D．－131解析：选C.对(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，分别令x＝0，x＝1代入得a0＝1，a0＋a1＋…＋a8＝－2，又a8＝C(－2)7＝－128，所以a1＋a2＋…＋a7＝(－2)－(1－128)＝125.6．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于()A．2nB.C．2n＋1D.解析：选D.设f(x)＝(1＋x＋x2)n，则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝＝.7．(2016·陕西省质检)展开式的常数项为________．(用数字作答)解析：二项式的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r(－1)r(x－)r＝C·(－1)r·26－r·x3－r，令3－r＝0，得r＝3，故展开式的常数项为C·(－1)3·23＝－160.答案：－16018．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________．解析：令1－x＝y，则有(2－y)10＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a10y10，(2－y)10的展开式的通项Tr＋1＝(－1)rC210－ryr，令r＝8，则a8＝(－1)8C210－8＝C22＝180.答案：1809.(2014·高考安徽卷)设a≠0，n是大于1的自然数，的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图所示，则a＝________．解析：由题意知A0(0，1)，A1(1，3)，A2(2，4)．故a0＝1，a1＝3，a2＝4.由的展开式的通项公式知Tr＋1＝C(r＝0，1，2，…，n)．故＝3，＝4，解得a＝3.答案：310．(2016·洛阳模拟)的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为________．解析：依题意，得3n＝729，即n＝6，二项式的展开式的通项是Tr＋1＝C·(2x)6－r·＝C·26－r·x6－.令6－＝2，得r＝3.因此，在该二项式的展开式中x2的系数是C×26－3＝160.答案：16011．已知二项式的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项．解：(1)由题意，得C＋C＋C＋…＋C＝256，即2n＝256，解得n＝8.(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C()8－r·＝C·x，令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.12．已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a2＋1)n展开式的二项式系数最大的项等于54，求a的值．解：由，得Tr＋1＝C＝·C·x.令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，所以r＝4，所以常数项T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n.由题意得2n＝16，所以n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，所以Ca4＝54，所以a＝±.1．(2016·枣庄模拟)若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是()A.B.2C.D．(1，＋∞)解析：选D.二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1＝C·x9－r·yr.依题意，有由此得解之得x>1，即x的取值范围为(1，＋∞)．2．(2016·河南省八校联考)若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于________．解析：在已知等式两边对x求导，得5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝10.答案：103...
