第二章几个重要的不等式滚动训练三(§1～§2)一、选择题1．已知a，b是给定的正数，则＋的最小值为()A．2a2＋b2B．2abC．(2a＋b)2D．4ab答案C解析＋＝(sin2α＋cos2α)≥2＝(2a＋b)2，当且仅当sinα·＝cosα·时，等号成立．故＋的最小值为(2a＋b)2.2．已知a，b，c为正数且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为()A．4B．4C．6D．6答案C解析∵a，b，c为正数，∴＝≥a＋b.同理≥b＋c，≥c＋a，相加得(＋＋)≥2(b＋c＋a)＝6，即＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．3．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4，则3x＋4y的最大值为()A．21B．11C．18D．28答案A解析根据柯西不等式，得[(x－1)2＋(y－2)2][32＋42]≥[3(x－1)＋4(y－2)]2＝(3x＋4y－11)2，∴(3x＋4y－11)2≤100.可得3x＋4y≤21，当且仅当＝＝时取等号．4．已知x＋y＋z＝1，则2x2＋3y2＋z2的最小值为()A.B.C.D.答案D解析∵·≥(x＋y＋z)2＝1，∴2x2＋3y2＋z2≥.当且仅当＝＝时，等号成立．5．已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值为()1A．5B．6C．8D．9答案D解析由柯西不等式知，≥(1＋1＋1)2＝9，因为＋＋＝1，所以x＋＋≥9.即x＋＋的最小值为9.6．设c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的某一排列(a1，a2，…，an均为正数)，则＋＋…＋的最小值是()A．nB.C.D．2n答案A解析不妨设a1≥a2≥…≥an＞0，则≤≤…≤，由排序不等式知，＋＋…＋≥a1·＋a2·＋…＋an·＝n.二、填空题7．函数y＝3sinx＋2的最大值是________．答案5解析y＝3sinx＋2＝3sinx＋4≤＝5，当且仅当3|cosx|＝4sinx时等号成立．8．设x，y，z∈R，若x2＋y2＋z2＝4，则x－2y＋2z的最小值为________．答案－6解析由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)[12＋(－2)2＋22]≥(x－2y＋2z)2，故(x－2y＋2z)2≤4×9＝36.当且仅当＝＝＝k，k＝±时，上式取得等号，当k＝－时，x－2y＋2z取得最小值－6.9．已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x，y，z，则x，y，z所满足的关系式为________，x2＋y2＋z2的最小值是________．答案x＋y＋z＝33解析利用三角形面积相等，得×2(x＋y＋z)＝×(2)2，即x＋y＋z＝3.由(1＋1＋1)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝9，得x2＋y2＋z2≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号．10．已知2x＋3y＋z＝8，则当x2＋y2＋z2取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)＝2______.答案解析由柯西不等式，得(22＋32＋12)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋z)2，即x2＋y2＋z2≥＝.当且仅当＝＝z时等号成立．又2x＋3y＋z＝8，解得x＝，y＝，z＝，所以所求点为.三、解答题11．已知实数a，b，c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－≤c≤1.证明因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.由柯西不等式，得(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，5(1－c2)≥(1－c)2，所以3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1.12．设a1，a2，…，an是1,2，…，n的一个排列，求证：＋＋…＋≤＋＋…＋.证明设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1＜b2＜…＜bn－1；c1，c2，…，cn－1是a2，a3，…，an的一个排列，且c1＜c2＜…＜cn－1，则＞＞…＞且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n.利用排序不等式，有＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋.∴原不等式成立．13．设a，b，c，d∈R＋，令S＝＋＋＋，求证：1＜S＜2.证明首先证明＜(a＞b＞0，m＞0)．因为－＝＝＜0，所以S＝＋＋＋＜＋＋＋＝＝2，所以S＜2.又S＞＋＋＋＝＝1，所以1＜S＜2.四、探究与拓展14．已知5a2＋3b2＝，则a2＋2ab＋b2的最大值为______．答案1解析∵[(a)2＋(b)2]≥2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，当且仅当5a＝3b，即a＝，b＝时取等号．∴×(5a2＋3b2)≥a2＋2ab＋b2.∴a2＋2ab＋b2≤×(5a2＋3b2)＝×＝1，3∴a2＋2ab＋b2的最大值为1.15．已知a，b，c均为实数，且a＋b＋c＋2－2m＝0，a2＋b2＋c2＋m－1＝0.(1)求证：a2＋b2＋c2≥；(2)求实数m的取值范围．(1)证明由柯西不等式得·(12＋22＋32)≥(a＋b＋c)2，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，即×14≥(a＋b＋c)2，∴a2＋b2＋c2≥.(2)解由已知得a＋b＋c＝2m－2，a2＋b2＋c2＝1－m，∴由(1)可知，14(1－m)≥(2m－2)2，即2m2＋3m－5≤0，解得－≤m≤1.又∵a2＋b2＋c2＝1－m≥0，∴m≤1，∴－≤m≤1.即实数m的取值范围为.4
