第2章函数、导数及其应用第11节导数的应用1.（2014四川，5分）已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1,1)，现有下列命题：①f(－x)＝－f(x)；②f＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是()A．①②③B．②③C．①③D．①②解析：f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故①正确；因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝ln，又当x∈(－1,1)时，∈(－1,1)，所以f＝ln＝ln2＝2ln＝2f(x)，故②正确；当x∈[0,1)时，|f(x)|≥2|x|⇔f(x)－2x≥0，令g(x)＝f(x)－2x＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x(x∈[0,1))，因为g′(x)＝＋－2＝>0，所以g(x)在区间[0,1)上单调递增，g(x)＝f(x)－2x≥g(0)＝0，即f(x)≥2x，又f(x)与y＝2x都为奇函数，所以|f(x)|≥2|x|成立，故③正确，故选A.答案：A2.（2014新课标全国Ⅱ，5分）设函数f(x)＝sin.若存在f(x)的极值点x0满足x＋[f(x0)]23，其中k∈Z.由题意，存在整数k使得不等式m21－2>3成立．当k≠－1且k≠0时，必有2>1，此时不等式显然不能成立，故k＝－1或k＝0，此时，不等式即为m2>3，解得m<－2或m>2.答案：C3.（2014辽宁，5分）当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－5，－3]B.C．[－6，－2]D．[－4，－3]解析：当x∈(0,1]时，得a≥－33－42＋，令t＝，则t∈[1，＋∞)，a≥－3t3－4t2＋t，令g(t)＝－3t3－4t2＋t，t∈[1，＋∞)，则g′(t)＝－9t2－8t＋1＝－(t＋1)(9t－1)，显然在[1，＋∞)上，g′(t)<0，g(t)单调递减，所以g(t)max＝g(1)＝－6，因此a≥－6；同理，当x∈[－2,0)时，得a≤－33－42＋，令m＝，则m∈，a≤－3m3－4m2＋m，令g(m)＝－3m3－4m2＋m，m∈，则g′(m)＝－9m2－8m＋1＝－(m＋1)(9m－1)．显然在上g′(m)<0，在上，g′(m)>0，所以g(m)min＝g(－1)＝－2.所以a≤－2.由以上两种情况得－6≤a≤－2，显然当x＝0时也成立．故实数a的取值范围为[－6，－2]．答案：C4.（2014湖北，14分）π为圆周率，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝的单调区间；(2)求e3,3e，eπ，πe,3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e3,3e，eπ，πe,3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为f(x)＝，所以f′(x)＝.当f′(x)>0，即0e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln3π3；由<，得ln3e2－.①由①得，elnπ>e>2.7×>2.7×(2－0.88)＝3.024>3，即elnπ>3，亦即lnπe>lne3，所以e3<πe.又由①得，3lnπ>6－>6－e>π，即3lnπ>π，所以eπ<π3.综上可得，3e0，所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．所以f(x)的单调递减区...
