课时作业27平面向量的数量积及应用举例1．(2019·合肥质检)设向量a，b满足|a＋b|＝4，a·b＝1，则|a－b|＝(B)A．2B．2C．3D．2解析：由|a＋b|＝4，a·b＝1，得a2＋b2＝16－2＝14，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝14－2×1＝12，∴|a－b|＝2.2．(2019·洛阳一模)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为(D)A．－7B．－3C．2D．3解析：依题意得a·b＝2×1×cos＝－1，(a＋λb)·(2a－b)＝0，即2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.3．如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(A)A．2B．2C．2D．6解析：如题图所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－(F1＋F2)，即F＝F＋F＋2F1·F2＝F＋F＋2|F1|·|F2|·cos60°＝28.故|F3|＝2.4．(2019·安徽江南十校联考)已知△ABC中，AB＝6，AC＝3，N是边BC上的点，且BN＝2NC，O为△ABC的外心，则AN·AO的值为(D)A．8B．10C．18D．9解析：由于BN＝2NC，则AN＝AB＋AC，取AB的中点为E，连接OE，由于O为△ABC的外心，则EO⊥AB，∴AO·AB＝·AB＝AB2＝×62＝18，同理可得AC·AO＝AC2＝×32＝，所以AN·AO＝·AO＝AB·AO＋AC·AO＝×18＋×＝6＋3＝9，故选D.5．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈(0，＋∞)，则(D)A．动点P的轨迹一定通过△ABC的重心B．动点P的轨迹一定通过△ABC的内心C．动点P的轨迹一定通过△ABC的外心D．动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心解析：由条件，得AP＝λ，从而AP·BC＝λ＝λ·＋λ·＝0，所以AP⊥BC，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．6．设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，AP＝λAB，若OP·AB≥PA·PB，则实数λ的取值范围是(B)A.≤λ≤1B．1－≤λ≤1C.≤λ≤1＋D．1－≤λ≤1＋解析：因为AP＝λAB，OP＝(1－λ，λ)，AP＝λAB＝(－λ，λ)，OP·AB≥PA·PB，所以(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，所以2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，因为点P是线段AB上的一个动点，所以0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.7．(2019·河南郑州模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为(B)A．－2B．3－C．－1D．0解析：由|a|＝|b|＝1，a·b＝，可得〈a，b〉＝.令OA＝a，OB＝b，以OA的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝OA＝(1,0)，b＝OB＝，设c＝OC＝(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，则(a＋b)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－＝3－sin，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－，故选B.8．(2019·河南天一联考测试)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝60°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，BE交于点F，连接AF，取CF的中点G，连接BG，则AF·BG＝.解析：依题意，F是△ABC的重心，AF＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)，BG＝(BF＋BC)＝＝·＝AC－AB.故AF·BG＝(AB＋AC)·＝.9．(2019·河南安阳模拟)已知在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝2，动点P位于线段AB上，则当PA·PO取最小值时，向量PA与PO的夹角的余弦值为－.解析：法一：易知∠AOB＝120°，记OA＝a，OB＝b，则a·b＝－2，设PA＝λBA＝λa－λb(0≤λ≤1)，则PO＝PA＋AO＝(λ－1)a－λb，则PA·PO＝(λa－λb)·[(λ－1)a－λb]＝12λ2－6λ，当λ＝时，PA·PO取最小值－，此时，|PA|＝|BA|＝，PO＝－a－b＝－(3a＋b)，|PO|＝|3a＋b|＝，所以向量PA与PO的夹角的余弦值为＝＝－.法二：取线段AB的中点C，连接OC，以线段AB的中点C为原点，以AB的方向为x轴正方向，CO的方向为y轴正方向建立直角坐标系，则O(0,1)，A(－，0)，B(，0)，设P(x,0)(－≤x≤)．则PA·PO＝(－－x,0)·(－x,1)＝x2＋x，当x＝－时，PA·PO取最小值－.此时PA＝，PO＝，所以向量PA与PO的夹角的余弦值为＝＝－.10．(2019·河北衡水二中模拟)已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，AB∥CD，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|MB＋MD|的取值范围为.解析：建立如图所示的平面直角坐标系．则A(0,0)...
