一平面直角坐标系课时跟踪检测一、选择题1．通过伸缩变换，下列曲线形态可能发生变化的是()①直线②圆③椭圆④双曲线⑤抛物线A．②③B．①④⑤C．①②③D．②③④⑤答案：A2．在直角坐标系中，如图所示的图形对应的方程是()A．|x|－y＝0B．x－|y|＝0C．－1＝0D．－1＝0解析：∵其图形关于x轴对称，在第一象限的部分倾斜角为45°，∴对应的方程为|y|＝x，即x－|y|＝0.答案：B3．在平面直角坐标系中，伸缩变换的关系式为则正弦曲线y＝sinx在此变换下得到的曲线方程为()A．y＝2sin2xB．y＝sin2xC．y＝sin2xD．y＝sin2x解析：伸缩变换可化为即①将①代入y＝sinx，得y′＝sin2x′，即y′＝sin2x′，得y＝sin2x.答案：B4．(2019·邵东一中月考)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2－y′2＝1，则曲线C的方程为()A．4x2－16y2＝1B．16x2－4y2＝1C．x2－y2＝1D．x2－y2＝1解析：将伸缩变换代入x′2－y′2＝1，得(4x)2－(2y)2＝1，所以曲线C的方程为16x2－4y2＝1，故选B．答案：B5．在平面直角坐标系中，方程3x－2y＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换后的直线方程为()A．3x－4y＋1＝0B．3x＋y－1＝0C．9x－y＋1＝0D．x－4y＋1＝0解析：由得代入3x－2y＋1＝0得9x′－y′＋1＝0.∴经过伸缩变换后的直线方程为9x－y＋1＝0.答案：C6．在平面直角坐标系中，y＝tanx经过怎样的伸缩变换可得到y＝3tan2x()1A．B．C．D．解析：令y′＝3tan2x′，变换为将其代入y′＝3tan2x′，得μy＝3tan2λx，即y＝tan2λx与y＝tanx比较，可得∴答案：B二、填空题7．点P(x，y)经过伸缩变换后又回到P点，则x＝________，y＝________.解析：由题意得得答案：008．(2019·邢台检测)在平面直角坐标系中，曲线C1：＋y2＝1，经伸缩变换后，得到曲线C2，则曲线C2的方程为______________．解析：由伸缩变换得代入曲线C1：＋y2＝1，得＋y′2＝1，即(x′－1)2＋y′2＝1，所以曲线C2的方程为(x－1)2＋y2＝1.答案：(x－1)2＋y2＝19．将圆x2＋y2＝1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标变为原来的2倍，则得到的曲线方程为____________．解析：由题意得整理得代入x2＋y2＝1，得4x′2＋y′2＝1，所以得到的曲线方程为4x2＋＝1.答案：4x2＋＝1三、解答题10．线段AB的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，且|AB|＝4，求AB中点P的轨迹方程．解：以两条互相垂直的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示，设P(x，y)，由于△OAB是直角三角形，P为AB的中点，所以|OP|＝|AB|，即＝×4，即x2＋y2＝4.故AB中点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.11．(2019·青冈实验中学测试)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线＋4y′2＝1，求曲线C的方程并说出其表示的图形．解：设M(x，y)是曲线C上任意一点，变换后的点为M′(x′，y′)．由且M′(x′，y′)在曲线＋4y′2＝1上，得＋＝1，即x2＋y2＝4.所以曲线C的方程为x2＋y2＝4，表示以O(0,0)为圆心，以2为半径的圆．12．椭圆＋＝1经过怎样的伸缩变换使它的长轴变为短轴，短轴变为长轴？解：原来的方程为＋＝1，经过伸缩变换后得到的方程为＋＝1.①设伸缩变换为则代入＋＝1，得＋＝1.②比较①②得∴∴伸缩变换公式为因此，应将椭圆上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩到原来的.213．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2解析：因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移个单位长度，得到曲线C2：y＝cos＝cos.答案：D3
