【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵章末综合检测苏教版选修4-21.求下列矩阵的逆矩阵.(1)A＝；(2)B＝.【解】法一(1)∵|A|＝1×3－2＝1，∴A－1＝.(2)∵2×5－4×3＝－2，∴B－1＝.法二(1)设A－1＝，则AA－1＝E，即＝＝，∴∴∴A－1＝.同理求出B－1＝.2.试从代数和几何角度分别求矩阵的乘积的逆矩阵.【导学号：30650046】【解】代数角度：＝，＝－1，∴＝，∴()－1＝.几何角度：矩阵对应的变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例增加，即(x，y)→(x＋2y，y)，又切变变换的逆变换为切变变换.∴该切变变换的逆变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例减小，即(x，y)→(x－2y，y)，故＝.矩阵对应的变换为关于直线y＝x的反射变换，其逆变换为其本身，故＝.∴()－1＝＝＝.3.已知A＝，求A－1.【解】＝，＝，∴A－1＝＝＝.4.用矩阵方法求二元一次方程组的解.【解】方程组可写为：＝，令M＝，则det(M)＝2×1－3×(－5)＝17，∴M－1＝，所以＝M－1＝，即方程组的解为5.设A＝，B＝.(1)计算det(A)，det(B)；(2)判断矩阵AB是否可逆，若可逆，求其逆矩阵，若不可逆，说明理由.【解】(1)det(A)＝1×3－2×(－2)＝7，det(B)＝1×4－2×2＝0.(2)矩阵AB不可逆.理由如下：AB＝＝，det(AB)＝0，∴AB不可逆.16.(福建高考)已知矩阵A＝，B＝.求矩阵C，使得AC＝B.【导学号：30650047】【解】由AC＝B，得(A－1A)C＝A－1B，故C＝A－1B＝＝.7.已知矩阵M＝所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′(13，5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标.【解】依题意，得det(M)＝＝2×(－1)－1×(－3)＝1，故M－1＝，从而由＝，得＝M－1＝＝＝，故即A(2，－3)为所求.8.m为何值时，二元一次方程组＝m有惟一解？【解】二元一次方程组即为即即＝.∵＝(－1－2m)(m＋3)＋2(7－m)＝－2m2－9m＋11，令－2m2－9m＋11＝0，得m＝1或m＝－，∴当m≠1或m≠－时，方程组有惟一解.9.已知A＝，B＝，求圆x2＋y2＝1在(AB)－1变换作用下的图形的方程.【解】(AB)－1＝B－1A－1＝＝＝.设圆x2＋y2＝1上任一点P′(x′，y′)在(AB)－1作用下的点为P(x，y)，则＝，即＝＝，所以因为点P′(x′，y′)在圆x2＋y2＝1上，所以＋＝1，化简得4x2＋y2＝1.10.设a，b∈R，若矩阵A＝，把直线l：2x＋y－7＝0变换为另一直线l′：9x＋y－91＝0，求矩阵A的逆矩阵.【导学号：30650048】【解】设P(x，y)为直线2x＋y－7＝0上任意一点，则其对应点P′(x′，y′)，且满足＝＝，即∵P′在直线l′：9x＋y－91＝0上，∴9ax－x＋by－91＝0，即(9a－1)x＋by－91＝0.2∵＝＝＝13，∴b＝13，a＝3，∴A＝.∵det(A)＝13×3－(－1)×0＝39，∴A－1＝＝.3
