第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义高效测评新人教A版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为()A．4B．16C．8D．2解析：因为＝＝4x＋2Δx，所以f′(x)＝lim＝lim(4x＋2Δx)＝4x.则点A处的切线斜率k＝f′(2)＝8.答案：C2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为()A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0解析：由导数定义求得y′＝2x，∵抛物线y＝x2的切线与直线2x－y＋4＝0平行，∴y′＝2x＝2⇒x＝1，即切点为(1,1)，∴所求切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，故选D.答案：D3．已知曲线y＝x3上过点(2,8)的切线方程为12x－ay－16＝0，则实数a的值为()A．－1B．1C．－2D．2解析：∵y′|x＝2＝lim＝lim[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12，∴＝12，∴a＝1.故选B.答案：B4．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则切点坐标为()A．(2,3)B．(3,8)C．(4,15)D．(－2,3)解析：由导数定义求得y′＝2x，设切点坐标为(x0，y0)，则由题意知y′|x＝x0＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知曲线y＝x2－3x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为________．解析：根据题意可设切点为P(x0，y0)，因为Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x)＝2xΔx＋(Δx)2－3Δx，＝2x＋Δx－3，所以f′(x)＝lim＝lim(2x＋Δx－3)＝2x－3.由f′(x0)＝0，即2x0－3＝0，得x0＝，1代入曲线方程得y0＝－，所以P.答案：6．给出下列四个命题：①若函数f(x)＝，则f′(0)＝0；②曲线y＝x3在点(0,0)处没有切线；③曲线y＝在点(0,0)处没有切线；④曲线y＝2x3上一点A(1,2)处的切线斜率为6.其中正确命题的序号是________．解析：①f(x)＝在点x＝0处导数不存在．②y＝x3在点(0,0)处切线方程为y＝0.③y＝在点(0,0)处切线方程为x＝0.④k＝y′|x＝1＝lim＝6.故只有④正确．答案：④三、解答题(每小题10分，共20分)7．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．解析：曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)的斜率k＝y′|x＝1＝lim＝lim(3Δx＋2)＝2.∴过点P(－1,2)直线的斜率为2，由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.8．(1)已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．(2)在曲线y＝x2上哪一点处的切线，满足下列条件：①平行于直线y＝4x－5；②垂直于直线2x－6y＋5＝0；③与x轴成135°的倾斜角．分别求出该点的坐标．解析：(1)设切点P(x0，y0)，由y′＝lim＝lim＝lim(4x＋2Δx)＝4x，得k＝y′|x＝x0＝4x0，根据题意4x0＝8，x0＝2，代入y＝2x2－7得y0＝1.故所求切点为P(2,1)．(2)f′(x)＝lim＝lim＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．①因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．②因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P.③因为切线与x轴成135°的倾斜角，则其斜率为－1.2即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P.☆☆☆9．(10分)已知抛物线y＝x2，直线l：x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线l的最短距离．解析：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝lim＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.3
