高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程综合提升案 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

2-1-1椭圆及其标准方程综合提升案·核心素养达成[限时40分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是A.＋＝1B.＋＝1C．x2＋＝1D.＋＝1解析由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2.∴a2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为＋＝1，故选D.答案D2．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于A．4B．5C．8D．10解析根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D.答案D3．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，因为m＞n＞0，所以0＜＜，因此椭圆焦点在y轴上，反之亦成立．答案C4．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是A．2B．6C．4D．12解析由椭圆的方程可得a＝，由椭圆定义可知，△ABC的周长是4a＝4，故选C.答案C5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为A.＋＝1B.＋＝1或＋＝1C.＋＝1D.＋＝1或＋＝1解析由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.答案B6．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于A.B.C.D．41解析如图所示，由定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，c＝＝，又由PF1⊥F1F2，可设点P的坐标为(－，y0)，代入＋y2＝1，得|y0|＝，即|PF1|＝，所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|＝.答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知(0，－4)是椭圆3kx2＋ky2＝1的一个焦点，则实数k的值是________．解析由3kx2＋ky2＝1，得＋＝1.∵(0，－4)是椭圆的一个焦点，则c＝4，∴a2＝，b2＝，∴c2＝－＝＝16，∴k＝.答案8．椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为________．解析如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，∴×8b＝12，∴b＝3.又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案＋＝19．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标x0＝________．解析由椭圆的方程为＋y2＝1，得c＝2，所以F1(－2，0)，F2(2，0)，＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．因为∠F1PF2为直角，所以＝0，即x＋y＝4，①又＋y＝1，②①②联立消去y得x＝，所以x0＝±.答案±三、解答题(共35分)10．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E在椭圆C上，且EF1⊥F1F2，|EF1|＝，|EF2|＝，求椭圆C的方程．解析因为点E在椭圆C上，所以2a＝|EF1|＋|EF2|＝＋＝6，即a＝3.在Rt△EF1F2中，|F1F2|＝＝＝2，所以椭圆C的半焦距c＝.因为b＝＝＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.211．(10分)已知椭圆C与椭圆x2＋37y2＝37的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P∈C，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．解析(1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(－6，0)，(6，0)，所以设椭圆C的标准方程为＋＝1(a2>36)．将点的坐标代入整理得4a4－463a2＋6300＝0，解得a2＝100或a2＝(舍去)．所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)因为P为椭圆C上任一点，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝20.由(1)知c＝6，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，所以由余弦定理得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos，即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.因为|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|，所以122＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|.所以122＝202－3|PF1||PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝＝＝.S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin＝××＝.所以△F1PF2的面积为.12．(15分)已知点P(6，8)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若＝0.试求(1)椭圆的方程；(2)求sin∠PF1F2的值．解析(1)因为＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，所以F1(－10，0)，F2(10，0)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝12，所以a＝6，b2＝80.所以椭圆方程为＋＝1.(2)因为PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·yP＝80，所以|PF1|·|PF2|＝160，又|PF1|＋|PF2|＝12，所以|PF2|＝4，所以sin∠PF1F2＝＝＝.3