核心素养测评三十四数列求和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数n为()A.120B.99C.11D.121【解析】选A.an===-,所以a1+a2+…+an=(-1)+(-)+…+(-)=-1=10.即=11,所以n+1=121,n=120.2.已知数列{an}的通项公式是an=2n-3,则其前20项和为()A.380-B.400-C.420-D.440-【解析】选C.令数列{an}的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+…+a20=2(1+2+…+20)-3=2×-3×=420-.3.在数列{an}中,an=,若{an}的前n项和Sn=,则n=()A.3B.4C.5D.6【解析】选D.由an==1-得:Sn=n-=n-,则Sn==n-,将各选项中的值代入验证得n=6.4.(多选)已知数列{an}:,+,++,…,++…+,…,若bn=,设数列{bn}的前n项和为Sn,则()A.an=B.an=nC.Sn=D.Sn=【解析】选AC.由题意得an=++…+==,所以bn===4,所以数列{bn}的前n项和Sn=b1+b2+b3+…+bn=4=4=.5.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),Sn是数列{an}的前n项和,则S2020=()A.22020-1B.3×21010-3C.3×21010-1D.3×22020-2【解析】选B.依题意得an·an+1=2n,an+1·an+2=2n+1,于是有=2,即=2,数列a1,a3,a5,…,a2n-1,…是以a1=1为首项,2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2n,…是以a2=2为首项,2为公比的等比数列,于是有S2020=(a1+a3+a5+…+a2019)+(a2+a4+a6+…+a2020)=+=3×21010-3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在数列{an}中,若an+1+(-1)nan=2n-1,则数列{an}的前12项和等于______________.【解析】由已知an+1+(-1)nan=2n-1,得an+2+(-1)n+1·an+1=2n+1,得an+2+an=(-1)n(2n-1)+(2n+1),取n=1,5,9及n=2,6,10,结果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=78.答案:787.已知数列{an},{bn},若b1=0,an=,当n≥2时,有bn=bn-1+an-1,则b10=________.【解析】由bn=bn-1+an-1得bn-bn-1=an-1,所以b2-b1=a1,b3-b2=a2,…,bn-bn-1=an-1,所以b2-b1+b3-b2+…+bn-bn-1=a1+a2+…+an-1=++…+,即bn-b1=a1+a2+…+an-1=++…+=-+-+…+-=1-=,又因为b1=0,所以bn=,所以b10=.答案:8.设数列{an}的通项公式为an=,令bn=nan,则数列{bn}的前n项和Sn为________.【解析】由bn=nan=n·知,Sn=1×2+2×23+3×25+…+n×,①从而22×Sn=1×23+2×25+3×27+…+n·,②①-②得(1-22)·Sn=2+23+25+…+-n·,即Sn=[(3n-1)+2].答案:[(3n-1)+2]三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·兰州模拟)已知数列的前n项和Sn满足2Sn=,且an>0.(1)求数列的通项公式.(2)若bn=,记数列的前n项和为Tn,证明:Tn≥.【解析】(1)当n=1时,2S1==2a1,因为a1>0,所以a1=2,当n≥2时,2an=2=-,所以=0,因为an>0,所以an-an-1-1=0,所以an-an-1=1,所以是以a1=2为首项,d=1为公差的等差数列,所以an=n+1.(2)由(1)得an=n+1,所以bn==-,所以Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=++…++=-3,因为Tn+1-Tn=-=>0,所以是递增数列,所以Tn≥T1=-3=.10.已知数列{an}的各项均为正数,且-2nan-(2n+1)=0,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)由-2nan-(2n+1)=0得[an-(2n+1)]·(an+1)=0,所以an=2n+1或an=-1,又数列{an}的各项均为正数,负值应舍去,所以an=2n+1,n∈N*.(2)因为bn=2n·an=2n·(2n+1),所以Tn=2×3+22×5+23×7+…+2n×(2n+1),①2Tn=22×3+23×5+…+2n×(2n-1)+2n+1×(2n+1),②由①-②得-Tn=6+2×(22+23+…+2n)-2n+1×(2n+1)=6+2×-2n+1×(2n+1)=-2+2n+1(1-2n).所以Tn=(2n-1)·2n+1+2.(15分钟35分)1.(5分)若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a3+…+a10=()A.15B.12C.-12D.-15【解析】选A.因为an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28=(-1+4)+(-7+10)+(-13+16)+(-19+22)+(-25+28)=3×5=15.【变式备选】已知数列{an}的前n项和为Sn,通项公式an=n·(-1)n+1,则S17=()A.10B.9C.8D.7【解析】选B.S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.【一题多解】解决本题还可以采用以下方法:选B.S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=(1+3+…+17)-(2+4+…+16)=81-72=9.2.(5分)已知等比数列{an}的首项为,公比为-,其前n项和为Sn,则Sn的最大值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为等比数列{an}的首项为,公比为-,所以Sn==1-,当n取偶数时,Sn=1-<1;当n取奇数时,Sn=1+≤1+=.所以Sn的最大值...
