基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）（时间：25分，满分50分）班级姓名得分1．（5分）设y＝－2exsinx，则y′等于()A．－2excosxB．－2exsinxC．2exsinxD．－2ex(sinx＋cosx)【答案】D【解析】y′＝－2(exsinx＋excosx)＝－2ex(sinx＋cosx)．2．（5分）已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()A.B.C.D.【答案】D【解析】∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.3．（5分）设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于()A．2B.C．－D．－2【答案】D4．（5分）设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．4B．－C．2D．－【答案】A【解析】依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4.5.（5分）二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a2－，顶点在第三象限，故选C.6．（5分）若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2s时的瞬时速度为________．【答案】0.4m/s【解析】∵s＝t2－2t＋1，∴s′＝2t－2，∴v＝s′(1.2)＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．7．（5分）若f(x)＝，φ(x)＝1＋sin2x，则f[φ(x)]＝_______，φ[f(x)]＝________.【答案】，1＋sin2【解析】f[φ(x)]＝＝＝|sinx＋cosx|＝.φ[f(x)]＝1＋sin2.8．（5分）函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为________．【答案】119．（5分）求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．【解析】点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x)．由题意，所求直线方程的斜率k＝＝y′|x＝x0＝3x，即＝3x，解得x0＝0或x0＝3.当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，即27x－y－54＝0.综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.10．（5分）设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)【解析】由7x－4y－12＝0得y＝x－3.当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②由①，②得解之得.故f(x)＝x－.令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.2
