第3讲立体几何中的向量方法向量法证明线面位置关系训练提示:使用空间向量方法证明线面平行,(1)可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行,然后根据线面平行的判定定理得到线面平行;(2)可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;(3)证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量共面,证明面面垂直既可以证明线线垂直,然后使用判定定理进行判定,也可以证明两个平面的法向量垂直.1.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,用空间向量法证明:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.证明:如图所示建立空间直角坐标系Dxyz,则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).(1)设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则n1⊥,n1⊥,即⇒令z1=2,y1=-1,所以n1=(0,-1,2),因为n1·=-2+2=0,所以n1⊥,又因为FC1⊄平面ADE,即FC1∥平面ADE.(2)因为=(2,0,0),设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量.由n2⊥,n2⊥,得⇒令z2=2,y2=-1,所以n2=(0,-1,2),所以n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.2.(2015宾川县校级月考)在边长是2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长;(2)证明:EF∥平面AA1D1D;(3)证明:EF⊥平面A1CD.(1)解:如图建立空间直角坐标系,则A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),D(0,0,0),因为E,F分别为AB,A1C的中点,所以E(2,1,0),F(1,1,1),=(-1,0,1),所以||==.证明:(2)因为=(-2,0,2)=2,所以EF∥AD1,又AD1⊂平面AA1D1D,EF⊄平面AA1D1D,所以EF∥平面AA1D1D.(3)=(0,-2,0),=(-2,0,-2),因为·=0,·=0,所以EF⊥CD,EF⊥A1D,又CD∩A1D=D,所以EF⊥平面A1CD.用空间向量求空间角训练提示:由空间向量法求解线线、线面、面面角的关键是把问题转化为向量与向量之间的关系.3.(2015辽宁锦州质检)如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1.(1)求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值;(2)在线段AC上找一点P,使与所成的角为60°,试确定点P的位置.解:(1)以C为坐标原点,分别以CD,CB,CE所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,1),D(,0,0),B(0,,0),A(,,0),F(,,1),连接BD,则AC⊥BD.因为平面ABCD⊥平面ACEF,且平面ABCD∩平面ACEF=AC,所以BD⊥平面ACEF,所以是平面ACEF的一个法向量.又=(-,,0),=(0,,1),所以cos<,>==.故直线DF与平面ACEF所成角的正弦值为.(2)设P(a,a,0)(0≤a≤),则=(-a,-a,1),=(0,,0).因为<,>=60°,所以cos60°==.解得a=或a=(舍去),故存在满足条件的点P(,,0)为AC的中点.4.(2015大连市高三一模)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD中点.(1)求证:直线AF∥平面PEC;(2)求PC与平面PAB所成角的正弦值.(1)证明:作FM∥CD交PC于M,连接EM.因为点F为PD中点,所以FM=CD,所以AE=AB=FM,所以四边形AEMF为平行四边形,所以AF∥EM,因为AF⊄平面PEC,EM⊂平面PEC,所以直线AF∥平面PEC.(2)解:连接DE,因为∠DAB=60°,所以DE⊥DC.如图所示,建立坐标系,则P(0,0,1),C(0,1,0),E(,0,0),A(,-,0),B(,,0).所以=(-,,1),=(0,1,0).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),因为n·=0,n·=0,所以取x=1,则z=,所以平面PAB的一个法向量为n=(1,0,),=(0,1,-1),所以设向量n与所成角为θ,所以cosθ===-,所以PC与平面PAB所成角的正弦值为.5.(2015甘肃兰州第二次监测)在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E,F分别是BB1,AC,AA1的中点,AC=BC=AA1,AB=AC.(1)求证:CD∥平面BEF;(2)求平面ACD与平面A1C1D所成二面角的大小.(1)证明:连接A1C,因为D,E,F分别是BB1,AC,AA1的中点,所以A1D∥BF,A1C∥EF,因为在平面A1CD中A1D∩A1C=A1,在平面BEF中BF∩EF=F,所以平面A1CD∥平面BEF,而CD⊂平面A1CD,所以CD∥平面BEF.(2)解:依题意AC⊥BC,BC⊥CC1,AC⊥CC1,所以分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设CA=1,则A(1,0,0),C(0,0,0),D(0,1,1),C1(0,0,2),A1(1,0,2),设n1=(x,y,z)为平面ACD的一个法向量,则n1·=0且n1·=0,即令y=1,则n1=(0,1,-1),同理可得平面A1C1D的一个法向量为n2=(0,1,1),因为n1·n2=0×0+1×1+1×(-1)=0,所以平面ACD与平面A...
