3.1.2共面向量定理[基础达标]有4个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB.其中正确的是________(填序号)．解析：命题①正确，命题②③不正确，因命题②中若a∥b，则p不一定能用a，b表示，命题③中，若M，A，B三点共线，则MP也不一定能用MA、MB表示．答案：①以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是__________(把所有正确命题的序号都填上)．解析：根据共线向量、共面向量的定义易知②④正确．答案：②④已知空间四点A、B、C、D共面，若对空间中任一点O有xOA＋yOB＋zOC＋OD＝0，则x＋y＋z＝__________．解析：由xOA＋yOB＋zOC＋OD＝0，得OD＝(－x)OA＋(－y)OB＋(－z)OC，∴(－x)＋(－y)＋(－z)＝1.∴x＋y＋z＝－1.答案：－1已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有OP＝2OA＋OB＋λOC，则λ＝________．解析：因为P，A，B，C四点共面，所以OP＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z＝1，所以2＋＋λ＝1，得λ＝－.答案：－已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM＝xOA＋OB＋OC，则x的值为__________．解析：由题意知，x＋＋＝1，∴x＝.答案：已知O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA＝2x·BO＋3y·CO＋4z·DO，则2x＋3y＋4z＝__________．解析：由A、B、C、D四点共面知OA＝－2x·OB＋(－3y)·OC＋(－4z)·OD，所以－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.答案：－1对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C，且有6OP＝OA＋2OB＋3OC，则__________四点必共面．解析：由6OP＝OA＋2OB＋3OC，得OP＝OA＋OB＋OC，所以P、A、B、C四点共面．答案：P、A、B、C下列命题中为真命题的是________．①若A1A2＋A2A3＋A3A1＝0，则A1，A2，A3三点共面；②若A1A2＋A2A3＋A3A4＋A4A1＝0，则A1，A2，A3，A4四点共面；③若A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＋AnA1＝0，则A1，A2，A3，…，An这n个点共面．解析：在空间四边形A1A2A3A4中，有A1A2＋A2A3＋A3A4＋A4A1＝0，但四点不一定共面，故②③都不正确．答案：①如图，已知空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OG＝xa＋yb＋zc，则x、y、z的值分别为多少？解：由线段中点的向量表达式，得1OG＝OM＋MG＝OM＋MN＝OA＋(MO＋OC＋CN)＝a＋[－a＋c＋(b－c)]＝a－a＋c＋b－c＝a＋b＋c，∵OG＝xa＋yb＋zc，∴x＝，y＝，z＝.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.证明：设C1B1＝a，C1D1＝b，C1C＝c，所以B1C＝c－a.又因为O是B1D1的中点，所以C1O＝(a＋b)．OD1＝C1D1－C1O＝b－(a＋b)＝(b－a)．因为D1DC1C，所以D1D＝c.所以OD＝OD1＋D1D＝(b－a)＋c.若存在实数x，y，使得B1C＝xOD＋yOC1成立，则c－a＝x[(b－a)＋c]＋y[－(a＋b)]＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc.因为a，b，c不共线，所以解得所以B1C＝OD＋OC1，则B1C，OD，OC1是共面向量，又因为B1C不在OD，OC1所确定的平面ODC1内，所以B1C∥平面ODC1.[能力提升]已知a，b，c是不共面的三个向量，且实数x，y，z使xa＋yb＋zc＝0，则x2＋y2＋z2＝__________．解析：由共面向量基本定理可知a，b，c不共面时，xa＋yb＋zc＝0必有x＝y＝z＝0，∴x2＋y2＋z2＝0.答案：0已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则AB＋(BD＋BC＋DC)＝__________．解析：原式＝AB＋BD＋BC＋DC＝AB＋BG＋GC＝AB＋BC＝AC.答案：AC已知A、B、C三点不共线，平面ABC外一点O，若OM＝2OA－OB－OC，证明：点M不在平面ABC内．证明：假设M在平面ABC内，则存在实数对(x，y)，使AM＝xAB＋yAC(*)，于是对空间任意一点O，O在平面ABC外，OM＝(1－x－y)OA＋xOB＋yOC，比较原式，得此方程组无解，这与假设相矛盾．所以假设不成立，所以不存在实数对(x，y)，使(*)式成立，所以M与A、B、C不共面，即M不在平面ABC内．(创新题)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，P，M为空间任意两点，若PM＝PB1＋7BA＋6AA1＋4A1D1，试问M点是否一定在平面BA1D1内？并证明你的结论．解：PM＝PB1＋7BA＋6AA1＋4A1D1＝PB1－AA1＋7(BA＋AA1)＋4A1D1＝PB1－BB1＋7BA1＋4A1D1＝PB1＋B1B＋7BA1＋4A1D1＝PB＋7BA1＋4A1D1＝PB＋7(BP＋PA1)＋4(A1P＋PD1)＝－6PB＋3PA1＋4PD1，由－6＋3＋4＝1，得M，B，A1，D1四点共面，故M点在平面BA1D1内．2
