高考数学 考纲解读与热点难点突破 专题11 数列的求和问题（热点难点突破）文（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

数列的求和问题1．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是方程x2－bnx＋2n＝0的两根，则b10等于()A．24B．32C．48D．64答案D2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1＋m，且a1，a4，a5－2成等差数列，bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则满足Tn>的最小正整数n的值为()A．11B．10C．9D．8答案B解析根据Sn＝2n＋1＋m可以求得an＝所以有a1＝m＋4，a4＝16，a5＝32，根据a1，a4，a5－2成等差数列，可得m＋4＋32－2＝32，从而求得m＝－2，所以a1＝2满足an＝2n，从而求得an＝2n(n∈N*)，所以bn＝＝＝－，所以Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－，令1－>，整理得2n＋1>2019，解得n≥10.3．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝，＝＋2n(n∈N*)，则S100等于()A．2－B．2－C．2－D．2－答案D解析由＝＋2n，得－＝2n，则－＝2n－1，－＝2n－2，…，－＝21，将各式相加得－＝21＋22＋…＋2n－1＝2n－2，又a1＝，所以an＝n·，因此S100＝1×＋2×＋…＋100×，则S100＝1×＋2×＋…＋99×＋100×，两式相减得S100＝＋＋＋…＋－100×，所以S100＝2－99－100·100＝2－.押题依据数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是《考试大纲》中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循．答案1解析因为an＝＝＝－，所以Sn＝＋＋…＋＝1－，由于1－<1，所以M的最小值为1.9．已知数列{an}，a1＝e(e是自然对数的底数)，an＋1＝a(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(2n－1)lnan，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)由a1＝e，an＋1＝a知，an>0，所以lnan＋1＝3lnan，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以lnan＝3n－1，an＝e3n－1(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝(2n－1)lnan＝(2n－1)·3n－1，Tn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，①3Tn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，②①－②，得－2Tn＝1＋2(31＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝1＋2×－(2n－1)×3n＝－2(n－1)×3n－2.所以Tn＝(n－1)×3n＋1(n∈N*)．10．在等比数列{an}中，首项a1＝8，数列{bn}满足bn＝log2an(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列{bn}的前n项和为Sn，又设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<.(1)解由bn＝log2an和b1＋b2＋b3＝15，得log2(a1a2a3)＝15，∴a1a2a3＝215，设等比数列{an}的公比为q， a1＝8，∴an＝8qn－1，∴8·8q·8q2＝215，解得q＝4，∴an＝8·4n－1，即an＝22n＋1(n∈N*)．(2)证明由(1)得bn＝2n＋1，易知{bn}为等差数列，Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2＋2n，则＝＝，Tn＝＝，∴Tn<.11．在公差不为0的等差数列{an}中，a＝a3＋a6，且a3为a1与a11的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)设数列{an}的公差为d， a＝a3＋a6，∴(a1＋d)2＝a1＋2d＋a1＋5d，① a＝a1·a11，即(a1＋2d)2＝a1·(a1＋10d)，② d≠0，由①②解得a1＝2，d＝3.∴数列{an}的通项公式为an＝3n－1(n∈N*)．(2)由题意知，bn＝(－1)n＝(－1)n··＝(－1)n··Tn＝＝.12．数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝n2，数列{bn}满足：①b3＝；②bn>0；③2b＋bn＋1bn－b＝0.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.押题依据错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用an，Sn的关系求an，也是高考出题的常见形式．解(1)当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n∈N*)，又a1＝1满足an＝2n－1，∴an＝2n－1(n∈N*)． 2b＋bn＋1bn－b＝0，且bn>0，∴2bn＋1＝bn，∴q＝，b3＝b1q2＝，∴b1＝1，bn＝n－1(n∈N*)．(2)由(1)得cn＝(2n－1)n－1，Tn＝1＋3×＋5×2＋…＋(2n－1)n－1，Tn＝1×＋3×2＋…＋(2n－3)n－1＋(2n－1)×n，两式相减，得Tn＝1＋2×＋2×2＋…＋2×n－1－(2n－1)×n＝1＋2－(2n－1)×n＝3－n－1.∴Tn＝6－n－1(2n＋3)(n∈N*)．13．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－1(n∈N*)，数列{bn}满足nbn＋1－(n＋1)bn＝n(n＋1)(n∈N*)，且b1＝1，(1)证明数列为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式...