课时跟踪检测（十六）向量数量积的坐标运算A级——学考水平达标练1．设a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，则(a＋b)·(a－c)等于()A．11B．5C．－14D．10解析：选A因为a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)，所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.2．已知向量a＝(1，)，b＝(－2,2)，则a与b的夹角是()A.B．C.D．解析：选C设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，解得θ＝.故选C.3．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.B．C．2D．10解析：选B由a⊥b得a·b＝0，∴x×1＋1×(－2)＝0，即x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝＝.4．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A.B．－C.D．－解析：选C设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得故b＝(－5,12)，所以cos〈a，b〉＝＝.5．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析：选A由题设知AB＝(8，－4)，AC＝(2,4)，BC＝(－6,8)，∴AB·AC＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB⊥AC.∴∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．6．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0)，B(1,1)，则AB·AC＝________.解析：如图所示，在正方形OABC中，A(0,1)，C(1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则AB＝(1,0)，AC＝(1，－1)，从而AB·AC＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.答案：17．在平行四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－3,2)，则AD·AC＝________.解析：设AC，BD相交于点O，则AD＝AO＋OD＝AC＋BD＝＋＝(－1,2)．又AC＝(1,2)，∴AD·AC＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.答案：38.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为________．解析：建立平面直角坐标系如图所示．设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，A(2,0)，则PA＋3PB＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．∴|PA＋3PB|2＝25＋(3b－4y)2(0≤y≤b)，当y＝b时，|PA＋3PB|最小，|PA＋3PB|min＝5.答案：59．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．(1)求AB·AC及|AB＋AC|；(2)设实数t满足(AB－tOC)⊥OC，求t的值．解：(1) AB＝(－3，－1)，AC＝(1，－5)，∴AB·AC＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2. AB＋AC＝(－2，－6)，∴|AB＋AC|＝＝2.(2) AB－tOC＝(－3－2t，－1＋t)，OC＝(2，－1)，且(AB－tOC)⊥OC，∴(AB－tOC)·OC＝0，∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，∴t＝－1.10．已知三个点A，B，C的坐标分别为(3，－4)，(6，－3)，(5－m，－3－m)，若△ABC为直角三角形，求实数m的值．解：由已知，得AB＝(3,1)，AC＝(2－m,1－m)，BC＝(－1－m，－m)．当∠A为直角时，AB⊥AC，则AB·AC＝3(2－m)＋1－m＝0，解得m＝.当∠B为直角时，AB⊥BC，则AB·BC＝3(－1－m)－m＝0，解得m＝－.当∠C为直角时，AC⊥BC，则AC·BC＝(2－m)(－1－m)＋(1－m)(－m)＝0，即m2－m－1＝0，解得m＝.综上，当△ABC为直角三角形时，m的值为或－或.B级——高考水平高分练1．在平行四边形ABCD中，AB＝(1,0)，AC＝(2,2)，则AD·BD等于()A．－4B．－2C．2D．4解析：选DAD·BD＝(AC－AB)·(AC－2AB)＝AC2＋2AB2－3AC·AB＝8＋2－3×2＝4.故选D.2．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为______；DE·DC的最大值为______．解析：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，设E(1，a)(0≤a≤1)．所以DE·CB＝(1，a)·(1,0)＝1，DE·DC＝(1，a)·(0,1)＝a≤1，故DE·DC的最大值为1.答案：113．已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足AP·OA≤0，BP·OB≥0，则OP·AB的最小值为________．解析：由已知得AP·OA＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，且BP·OB＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以OP·AB＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.答案：34．已知点A(2,3)，若把向量OA绕原点O按逆时针旋转90°得到向量OB，则点B的坐标为________．解析：设B(x，y)(x<0)，则OA⊥OB，且|OB|＝|...
