第3节二项式定理【选题明细表】知识点、方法题号二项展开式的特定项或系数1,2,4,8赋值法的应用5,7,13二项式系数性质、系数和9,11二项式定理的应用3,6,10,12,14,15,16基础对点练(时间:30分钟)1.(2015湖南长沙二模)二项式的展开式中常数项为(B)(A)-15(B)15(C)-20(D)20解析:展开式的通项公式为Tr+1=x6-r=,令6-r=0,得r=4,故展开式中的常数项为T3=(-1)4=15,选B.2.若(-)n的展开式中第四项为常数项,则n等于(B)(A)4(B)5(C)6(D)7解析:展开式中的第四项为T4=()n-3(-)3·()3=(-)3,由题意得=0,解得n=5.3.(2015高考湖南卷)已知(-)5的展开式中含的项的系数为30,则a等于(D)(A)(B)-(C)6(D)-6解析:(-)5的展开式的通项为Tr+1=()5-r·(-)r=(-a)r·.依题意,令5-2r=3,得r=1,所以(-a)1·=30,a=-6,故选D.4.(2015山西省康杰中学等四校第三次联考)若的展开式中含有常数项,则n的最小值等于(C)(A)3(B)4(C)5(D)6解析:展开式的通项公式为Tr+1=x6n-6r=,令=0,得n=r,r=0,1,2,…,n,所以r最小为4,即n最小为5.5.(2015江西省八所重点中学高三联考)若(1+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+…+a7的值是(C)(A)-2(B)-3(C)125(D)-131解析:令x=0,得a0=1,令x=1,得a0+a1+a2+…+a7+a8=-2,根据二项展开式可得a8=(-2)7=-128,所以a1+a2+…+a7=-2-a0-a8=-2-1+128=125.6.(2015内蒙古包头一模)(2x+1)的展开式中的常数项是(D)(A)-11(B)-10(C)1(D)-9解析:二项式展开式的通项公式为Tr+1=(-1)rx-r,其中x-1的系数为-5,常数项为1,故的展开式中常数项为2×(-5)+1×1=-9.7.若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,则a1+a2+…+a11的值为(C)(A)0(B)-5(C)5(D)255解析:令x=2得a0=-5;令x=3得a0+a1+a2+…+a11=0.所以a1+a2+…+a11=-a0=5.8.(2015高考广东卷)在(-1)4的展开式中,x的系数为.解析:(-1)4的展开式通项为Tr+1=()4-r(-1)r=(-1)r··,令=1,得r=2,从而x的系数为(-1)2=6.答案:69.(2015湖北黄冈中学等八校二联)已知二项式的展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含x项的系数是.解析:由2n=32得n=5,Tr+1=(x2)5-r()r=x10-3x,令10-3r=1得r=3,故含x项的系数为=10.答案:1010.(2015陕西宝鸡九校3月联考)设(1-x)(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则a2=.解析:a2=1×22-1×2=30.答案:30能力提升练(时间:15分钟)11.在二项式(+)n的展开式中,各项系数之和为M,各项二项式系数之和为N,且M+N=72,则展开式中常数项的值为(C)(A)18(B)12(C)9(D)6解析:4n+2n=72,即2n(2n+1)=8×9,解得n=3.二项展开式的通项公式为Tr+1==3r,r=1时为常数项,所以常数项为9.12.·的展开式中x的系数是(C)(A)-4(B)-2(C)2(D)4解析:两个二项式的展开式分别为Tr+1=,Tk+1=,故总的展开式的通项为T=(-1)k2r,r=0,1,2,3,k=0,1,2,3,4,5,若+=1,则r=2,k=0或者r=0,k=3,所以x的系数为4×3-10=2.13.若=a0+a1x+…+a2016x2016(x∈R),则+++…+等于(D)(A)-(B)(C)-(D)解析:根据二项式定理可得a1=-2×2016,a0=1.在已知等式中令x=可得a0+++…+=0,所以+…+=2015,所以+++…+=-×2015==.14.0.9986的误差小于0.001的近似值是.解析:0.9986=(1-0.002)6=1+6×(-0.002)+15×(-0.002)2+…+(-0.002)6,因为T3=15×(-0.002)2=0.00006<0.001.即第3项以后的项的绝对值都小于0.001,所以从第3项起,以后的项可以忽略不计,即0.9986=(1-0.002)6≈1+6×(-0.002)=0.988.答案:0.98815.(2015山东泰安二模)若(a>0)的展开式的常数项是,则实数a=.解析:展开式的通项公式为Tr+1=(-1)ra-rx-r=(-1)ra-r,显然r=2时为常数项,此时系数为a-2=,即a2=4,因为a>0,所以a=2.答案:216.(2015江西高考适应性测试)展开式中的常数项为.解析:=,展开式的常数项,即(x-1)8的展开式中x4的系数,即=70.答案:70精彩5分钟1.若的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中x4项的系数为(B)(A)6(B)7(C)8(D)9解题关键:由前三项的系数或等差数列列出关系式求n.解析:由2×=+,得n=1+,即n2-9n+8=0,解得n=8.展开式的通项公式为Tr+1=x8-2r,令8-2r=4,解得r=2,x4的系数为7.2.对任意实数x,都有(x-1)11=a0+a1(x-3)++a3(x-3)3+…+a11(x-3)11,则等于(C)(A)(B)(C)(D)解题关键:观察等式右端含(x-3)k,展开把左边写成[(x-3)+2]11.解析:(x-1)11=[(x-3)+2]11=2k(x-3)11-k,所以a9=22=220,在已知等式中,令x=2,则1=a0-a1+a2-a3+…+a10-a11;令x=4,则311=a0+a1+a2+a3+…+a10+a11.两式相减得a1+a3+a5+a7+a9+a11=,则=-1=-1=.
