2.5直线与圆锥曲线课时过关·能力提升1.若椭圆x236+y29=1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为()A.2B.-2C.13D.−12解析:设弦两端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,又{x1236+y129=1,①x2236+y229=1.②①-②得(x1+x2)(x1-x2)36+(y1+y2)(y1-y2)9=0,即8(x1-x2)36+4(y1-y2)9=0,所以所求直线的斜率为y1-y2x1-x2=−12.答案:D2.已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为()A.3√2B.2√3C.√303D.32√6解析:依题设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,又x12+2y12=4,x22+2y22=4,所以x12−x22=−2(y12−y22),此弦的斜率k¿y1-y2x1-x2=−x1+x22(y1+y2)=−12,所以此弦所在的直线方程为y-1=−12(x−1),即y=−12x+32.代入x2+2y2=4,整理得3x2-6x+1=0,所以x1x2¿13,1所以|AB|¿√(x1+x2)2-4x1x2·√1+k2=√4-4×13·√1+14=√303.答案:C3.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与直线y=2x有交点,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,√5¿B.(1,√5¿∪(√5,+∞)C.(√5,+∞)D.¿解析:双曲线过第一、三象限的渐近线的斜率k¿ba,要使双曲线x2a2−y2b2=1和直线y=2x有交点,只要满足ba>2即可,∴√c2-a2a>2,∴√e2-1>2,∴e¿√5.答案:C4.已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为F(√7,0),直线y=x−1与双曲线交于M,N两点,且MN中点的横坐标为−23,则此双曲线的方程为()A.x23−y24=1B.x24−y23=1C.x25−y22=1D.x22−y25=1解析:由c¿√7,得a2+b2=7.∵焦点为F(√7,0),∴可设双曲线方程为x2a2−y27-a2=1,①并设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=x-1代入①并整理得(7-2a2)x2+2a2x-a2(8-a2)=0,2∴x1+x2=−2a27-2a2,由已知得−2a27-2a2=−23×2,解得a2=2,故双曲线的方程为x22−y25=1.答案:D★5.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是()A.[-12,12]B.[−2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]解析:由已知,得直线l的方程为y=k(x+2),与抛物线方程联立方程组,整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点.当k≠0时,由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1.所以-1≤k≤1,k≠0.综上得-1≤k≤1.答案:C6.直线l过抛物线y2=ax的焦点,并且垂直于x轴,若直线l被抛物线截得的线段长为4,则a=.解析:抛物线y2=ax的焦点为(a4,0),所以直线l与抛物线的两个交点坐标是(a4,a2)和(a4,-a2),所以|a2-(-a2)|=4,解得a=±4.答案:±47.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过椭圆C的焦点且垂直长轴的弦长为1,则椭圆C的方程为.解析:由题意得{b=1,2·b2a=1,∴{a=2,b=1.故所求的椭圆方程为y24+x2=1.答案:y24+x2=18.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为−√3,那么∨PF∨¿.解析:直线AF的方程为:y=−√3(x−2),当x=-2时,y=4√3,∴A(−2,4√3).3当y=4√3时,代入y2=8x中,得x=6,∴P(6,4√3¿.∴∨PF∨¿∨PA∨¿6−(−2)=8.答案:89.在椭圆x2+4y2=16中,求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长.分析:题目中涉及弦的中点,既可以考虑中点坐标公式,又可以考虑平方差公式.解:当直线斜率不存在时,M不可能为弦的中点,所以可以设直线方程为y=k(x-2)+1,代入椭圆方程,消去y,得(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0.显然1+4k2≠0,Δ=16(12k2+4k+3)>0,由x1+x2¿16k2-8k1+4k2=4,解得k=−12.故所求弦所在的直线方程为x+2y-4=0.由{x+2y-4=0,x2+4y2=16,消去x,得y2-2y=0,∴y1=0,y2=2.∴弦长=√(1+1k2)∨y1−y2∨¿¿√1+4∨0−2∨¿2√5.★10.求k的取值范围,使直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1至多有一个公共点.分析:将y=kx+1代入双曲线方程得关于x的方程,讨论该方程解的个数即可.解:联立直线与双曲线方程{y=kx+1,x2-y2=1,消去y得(1-k2)x2-2kx-2=0.当1-k2=0,即k=±1时,解得x=1;∓当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2.由Δ=0得k=±√2,由Δ<0得k<−√2或k¿√2.所以当k=±√2或k=±1时,直线与双曲线有1个公共点;当k∈(-∞,−√2¿∪(√2,+∞)时,直线与双曲线无公共点.故当k=±1或k=±√2或k∈(-∞,−√2¿∪(√2,+∞)时,直线与双曲线至多有一个公共点.45
