考点29直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.(2016·浙江高考文科·T2)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【解题指南】根据线、面垂直的定义判断.【解析】选C.由题意知,α∩β=l,所以l⊂β,因为n⊥β,所以n⊥l.二、填空题2.(2016·全国卷Ⅱ理科·T14)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β,②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n;③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β;④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)【解题指南】借助正方体模型分析、论证.【解析】对于①,AA'(m)⊥平面ABCD(α),AA'(m)⊥AD(n),AD(n)∥平面A'B'C'D'(β),显然平面ABCD(α)∥平面A'B'C'D'(β),故①错误;对于②,n∥α,由线面平行的性质定理,可知n与α内的一条直线l平行,因为m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故②正确;对于③,设过m的平面γ交β于直线l,因为α∥β,m⊂α,由面面平行的性质定理可知m∥l,由线面平行的判定定理,可知m∥β,故③正确;对于④,若m,n分别与平面α,β平行(或垂直),结论显然成立,若m,n分别与平面α,β不平行,也不垂直,可以分别作出m,n在平面α,β内的射影,由等角定理,可知结论也成立,故④正确.答案:②③④三、解答题3.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T18)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点.(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.【解题指南】(1)证明AB⊥PG.由PA=PB可得G是AB的中点.(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.四面体PDEF的体积V=×2×2×2=.【解析】(1)因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.因为PD∩DE=D,所以AB⊥平面PDE,故AB⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G为AB的中点.(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC.又PA∩PC=P,因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=CG.由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的体积V=×2×2×2=.4.(2016·全国卷Ⅱ文科·T19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(1)证明:AC⊥HD'.(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD'=2,求五棱锥D'-ABCFE的体积.【解题指南】(1)先证AC∥EF,再证EF⊥HD',即可证ΑC⊥ΗD'.(2)利用勾股定理,先证ΟD'⊥ΟΗ,进而可证ΟD'⊥平面ΑΒC,ΟD'就是五棱锥的高.再计算底面的面积,进而可得五棱锥D'-ABCFE的体积.【解析】(1)由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF,得,故AC∥EF.由此得EF⊥HD,故EF⊥HD',又AC∥EF,所以AC⊥HD'.(2)由AC∥EF,得.由AB=5,AC=6,得DO=BO==4.所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(2)2+1=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知,AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BD'H.于是AC⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.又由,得EF=.五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.所以五棱锥D'-ABCFE的体积V=××2=.5.(2016·浙江高考文科·T18)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD.(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【解析】(1)延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示,因为平面BCFE⊥平面ABC,平面BCFE∩平面ABC=BC,AC⊂平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,所以BF⊥AC,又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK,AC∩CK=C,所以BF⊥平面ACFD.(2)因为BF⊥平面ACK,所以∠...
