考点33：立体几何中的综合问题【考纲要求】1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.【命题规律】立体几何综合问题是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体．【典型高考试题变式】（一）构造函数在导数问题中的应用例1.【2015广东卷（理）】若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5【答案】B在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．【方法技巧归纳】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．【变式1】【改编例题条件】【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（）A.B.C.1D.【答案】A【解析】设在平面上的射影为在平面上的射影为，平面与平面和平面成的锐二面角分别为，则，，设到距离为，则，即点在与直线平行且与直线距离为的直线上，到的最短距离为，故选A.【变式2】【改编例题条件和问法】【2017届湖北武汉市蔡甸区汉阳一中高三第三次模拟】如图，直三棱柱中，，，，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断：①直线与直线是异面直线；②一定不垂直；③三棱锥的体积为定值；④的最小值为.其中正确的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】如图， 直线AC经过平面BCC1B1内的点C,而直线C1E在平面BCC1B1内不过C,∴直线AC与直线C1E是异面直线，故①正确；当E与B重合时,AB1⊥A1B,而C1B1⊥A1B,∴A1B⊥平面AB1C1,则A1E垂直AC1，故②错误；由题意知,直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的球心为O是AC1与A1C的交点,则△AA1O的面积为定值,由BB1∥平面AA1C1C，∴E到平面AA1O的距离为定值,∴三棱锥E−AA1O的体积为定值，故③正确；设BE=x,则B1E=2−x,∴.由其几何意义,即平面内动点(x,1)与两定点(0,0),(2,0)距离和的最小值知,其最小值为，故④正确。∴正确命题的个数是3个。本题选择C选项.（二）立体几何中的体积问题例2.【2014江西卷（理）】如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.（1）求证：（2）若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.【解析】试题分析：（1）先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD为矩形，故ABAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根据线面垂直证线线垂直：因为PD平面PAD，所以ABPD试题解析：（1）证明：ABCD为矩形，故ABAD，又平面PAD平面ABCD平面PAD平面ABCD=AD所以AB平面PAD，因为PD平面PAD，故ABPD（2）解：过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO平面ABCD，BC平面POG,BCPG在直角三角形BPC中，设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为因为故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.建立如图所示的空间直角坐标系，故设平面BPC的法向量，则由,得解得同理可求出平面DPC的法向量，从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为【方法技巧归纳】1.利用空间向量解决立体几何问题的两种思路(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．【变式1】【改编例题的条件】【2018届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考】如图（1）所示，已知四边形是由和直角梯形拼接而成的，其中.且点为线段的中点，，.现将沿进行翻折，使得二面角的大小为90°，得到图形如图（2）所示，连接，点分别在线段上.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若三棱锥的体积为四棱锥体...
