活跃在高考中的正方体问题正方体是立体几何中最常见的几何体，立体几何中许多概念、定理都可以用正方体的点、线、面的关系说明，因此正方体有“百宝箱”的美称．故也成为考查立体几何知识的主要载体，下面加以分类说明．一、探求正方体的截面问题作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出交线．例1正方体1111ABCDABCD中，PQR，，分别是11ABADBC，，的中点．那么，正方体的过PQR，，的截面图形是（）Ａ．三角形Ｂ．四边形Ｃ．五边形Ｄ．六边形解析：如图1，设11CD的中点是S，则PQRS∥，所以S在平面PQR上，容易看出平面PQR与11BBDD，都有交点（由对称性可知这两个交点分别是11BBDD，的中点），所以PQR，，的截面图形是六边形，选（Ｄ）．点评：正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形这四种图形，特别要注意以下几个结论：①当截面是三角形时，必然是锐角三角形；②当截面是四边形时，可以是正方形、长方形、平行四边形、菱形、梯形，一定是至少一组对边平行，但不可能是直角梯形；③当截面是五边形时，不可能是正五边形；④当截面是六边形时，可以是正六边形．二、求解正方体中有关元素间的距离例2如图2，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，O是底面1111ABCD的中心，则O到平面11ABCD的距离为（）Ａ．12Ｂ．24Ｃ．22Ｄ．32解析：取11BC的中点M，连结1BC交1BC于O，取1OC的中点N，连结MN，则1MNBC，又在正方体1111ABCDABCD中OM平行于平面11ABCD．则O到平面11ABCD距离转化为M到平面11ABCD的距离，即24MN，故选（Ｂ）．点评：立体几何中“点面距离”其解法有：①直接法，②转化为“线面距离”，③运用“等积法”求解．本题转化为“线面距离”求解．三、以正方体为载体考查线面的位置关系例3在正方体ABCDABCD中，过对角线BD的一个平面交AA于E，交CC于F，则①四边形BFDE一定是平行四边形；②四边形BFDE有可能是正方形；③四边形BFDE在底面ABCD内的的投影一定是正方形；④四边形BFDE有可能垂直于平面BBD．以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）解析：如图3，①平面BFDE与相对侧面相交，交线互相平行，∴四边形BFDE一定是平行四边形，用心爱心专心②四边形BFDE若是正方形，则BEED，又ADEB，BE∴平面ADDA，这与实际产生矛盾；③四边形BFDE在底面ABCD内的投影是正方形ABCD；④当EF，分别是AACC，的中点时，EFAC∥．又AC平面BBD，∴四边形BFDE有可能垂直于平面BBD，故填①③④．点评：本题是多选题，是近年高考填空题的热点题型．它弥补了数学选择题是单选题的缺陷，有时也在选择题中以多选组合型给出．此类题应逐一判断真假，不能多选，也不能少选．用心爱心专心
