8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积一、选择题1.如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为()A．πB．2πC．3πD．4π解析：设圆锥的母线长为l，则l＝＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.答案：C2．若圆柱的底面半径为1，其侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是()A．4π2B．3π2C．2π2D．π2解析：依题意，圆柱的母线长l＝2πr，故S侧＝2πrl＝4π2r2＝4π2.答案：A3．如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为()A．8：27B．2：3C．4：9D．2：9解析：：＝8：27，∴r：R＝2：3，∴S1：S2＝4：9.答案：C4．在△ABC中，AB＝2，BC＝，∠ABC＝120°，将△ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体的体积是()A.πB.πC.πD.π解析：如图，△ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体是以△ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以△ABD为轴截面的圆锥后剩余的部分．因为AB＝2，BC＝，∠ABC＝120°，所以AE＝ABsin60°＝，BE＝AB·cos60°＝1，CE＝.V1＝π·AE2·CE＝，V2＝π·AE2·BE＝π，所以V＝V1－V2＝π.故选D.答案：D二、填空题5．已知圆锥的底面半径为2cm，高为1cm，则圆锥的侧面面积是________cm2.解析：根据圆锥的侧面面积公式可得S侧＝π×2×＝2π(cm)2.答案：2π6．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．解析：长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即2R＝＝，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.答案：14π7.如图是某几何体的直观图，则这个几何体的表面积为________，体积为________．解析：这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为)，所以该几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π，体积V＝π×12×2＋×π×12×＝2π＋π.答案：7π2π＋π三、解答题8．用一张4×8(cm2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求该圆柱的表面积？解析：方法一如图(1)所示，以矩形8cm的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设OA为底面圆的半径，此时底面圆的周长为2π·OA＝4，得OA＝，则两底面面积之和为cm2，又S侧＝32cm2，故此时该圆柱的表面积为cm2.方法二如图(2)所示，以矩形4cm的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设OB为底面圆的半径，此时底面圆的周长为2π·OB＝8，得OB＝，则两底面面积之和为cm2，又S侧＝32cm2，故此时该圆柱的表面积为cm2.9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的体积．解析：如图，过C作CE垂直于AD，交AD延长线于E，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE旋转一周所得的圆锥的体积．所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝π×(52＋5×2＋22)×4－π×22×2＝π.[尖子生题库]10．已知球心O到过球面上三点A，B，C的截面的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的体积．解析：如图所示，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′，AO，AO′，因为AB＝BC＝CA＝3cm，所以O′为正三角形ABC的中心，且AO′＝AB＝cm.设球的半径为R，则OO′＝R.由球的截面性质，知△OO′A为直角三角形，所以AO′＝＝＝R，所以R＝2cm.所以V球＝πR3＝π(cm3)．
