1.1.2余弦定理1.在△ABC中,已知a2+b2=c2+ab,则C等于(B)(A)30°(B)45°(C)150°(D)135°解析:在△ABC中,由于已知a2+b2=c2+ab,则由余弦定理可得cosC===,所以C=45°,故选B.2.在△ABC中,a=4,b=4,C=30°,则c2等于(A)(A)32-16(B)32+16(C)16(D)48解析:由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=42+42-2×4×4×=32-16.3.边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角之和为(B)(A)90°(B)120°(C)135°(D)150°解析:设边长为5,7,8的对角分别为A,B,C,则A
0,可知只要32+42-a2>0即可,可解得00,可解得a>,综上可知a的取值范围为(,5).答案:(,5)313.在△ABC中,AB=4,BC=5,AC=7,求BC边上的中线AD的长度.解:因为在△ABC中,AB=4,BC=5,AC=7,所以cosC====.所以AD2=AC2+CD2-2·AC·CD·cosC=49+-2×7××=.所以AD==.14.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,已知b2+c2-a2=bc.(1)求角A的值;(2)若a=,cosC=,求c的长.解:(1)由b2+c2-a2=bc,得cosA==.因为00,所以a-b+c=b-a+c,得a=b.故△ABC为等腰三角形.6法二(转化为角来判断)依正弦定理知=,所以=,因为sincossin≠0,所以tan=tan.又,∈(0,),所以=,A=B,即△ABC为等腰三角形.20.在△ABC中,已知角C=,c=2.(1)若△ABC的面积为,求a,b;(2)若cos(A-B)+cosC=4sin2A,求△ABC的面积;(3)求△ABC面积的最大值,以及周长的最大值.解:(1)根据题意,可知则得解得(2)根据题意,可知cos(A-B)-cos(A+B)=4sin2A.展开左边,得2sinAsinB=4sin2A,即sinB=2sinA,b=2a.由余弦定理a2+b2-2abcosC=c2,代入条件可得a2+(2a)2-a·(2a)=4,解得a=,b=.7因此,S△ABC=absinC=.(3)根据题意,可知a2+b2-2abcosC=c2,即a2+b2-ab=4.因为由(a-b)2≥0,a2+b2-2ab≥0,所以a2+b2≥2ab.a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,所以ab≤4.所以S△ABC=absinC=ab≤,当且仅当a=b=2,即△ABC为正三角形时,S△ABC取得最大值.根据正弦定理====,可得a=sinA,b=sinB.△ABC的周长=a+b+c=sinA+sinB+2=[sin(120°-B)+sinB]+2=[cosB-(-)sinB+sinB]+2=·sin(B+)+2≤4+2=6,此时B=,A=,即△ABC为正三角形.即周长的最大值为6.89
