课时提升作业五十六双曲线(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·铜仁模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选C.因为e==,故可设a=2k,c=k,则得b=k,所以渐近线方程为y=±x=±x.2.已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【解析】选D.由双曲线C1知:a2=sin2θ,b2=cos2θ⇒c2=1,由双曲线C2知:a2=cos2θ,b2=sin2θ⇒c2=1.3.(2016·新乡模拟)如果双曲线-=1(m>0,n>0)的渐近线方程为y=±x,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【解析】选D.因为双曲线方程为-=1(m>0,n>0),所以a2=m,b2=n,得a=,b=,因此双曲线的渐近线方程y=±x,即y=±x,所以=,得m=4n,所以c==.故双曲线的离心率e====.【加固训练】(2016·忻州模拟)已知双曲线C:-=1的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选B.由双曲线的方程-=1知,双曲线的焦点在x轴上,所以=()2=3,所以n=,所以a2=,b2=4-=,从而双曲线的渐近线方程是y=±x.4.(2014·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B.3C.mD.3m【解析】选A.双曲线C:-=1,则c2=3m+3,c=,设焦点F(,0),一条渐近线方程为y=x,即x-y=0,所以点F到渐近线的距离为d==.5.(2016·开封模拟)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.【解析】选B.易知|PF2|=|F1F2|=2c,所以由双曲线的定义知|PF1|=2a+2c,因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,所以(a+c)2+(2a)2=(2c)2,即3c2-2ac-5a2=0,两边同除以a2,得3e2-2e-5=0,解得e=或e=-1(舍去).【加固训练】(2016·唐山模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,且C上点P满足·=0,||=3,||=4,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.5【解析】选D.依题意得,2a=|PF2|-|PF1|=1,|F1F2|==5,因此该双曲线的离心率e==5.6.过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.由得所以A(a,-b).由题意知右焦点与原点的距离为c=4,所以=4,即(a-4)2+b2=16.而a2+b2=16,所以a=2,b=2.所以双曲线C的方程为-=1.7.直线y=x与双曲线C:-=1(a>0,b>0)左右两支分别交于M,N两点,F是双曲线C的右焦点,O是坐标原点,若|FO|=|MO|,则双曲线的离心率等于()A.+B.+1C.+1D.2【解析】选B.由题意知|MO|=|NO|=|FO|,所以△MFN为直角三角形,且∠MFN=90°,取左焦点为F0,连接NF0,MF0,由双曲线的对称性知,四边形NFMF0为平行四边形.又因为∠MFN=90°,所以四边形NFMF0为矩形,所以|MN|=|F0F|=2c,又因为直线MN的倾斜角为60°,即∠NOF=60°,所以∠NMF=30°,所以|NF|=|MF0|=c,|MF|=c,由双曲线定义知|MF|-|MF0|=c-c=2a,所以e==+1.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为.【解析】由-=1,得a=,b=,c=,所以e===,即m2-4m+4=0,解得m=2.答案:29.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为.【解题提示】可利用双曲线的定义,再借助于三角形的图形,即可得出结论.【解析】由-=1,得a=3,b=4,c=5,所以|PQ|=4b=16>2a,又因为A(5,0)在线段PQ上,所以P,Q在双曲线的一支上,且PQ所在直线过双曲线的右焦点,由双曲线定义知:所以|PF|+|QF|=28.即△PQF的周长是|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44.答案:4410.设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.【解析】联立双曲线-=1渐近线与直线方程x-3y+m=0可解得:A,B,则kAB=,设AB的中点为E,由|PA|=|PB|,可得AB的中点E与点P两点连线的斜率为-3,化简得4b2=a2,所以e=.答案:(15分钟30分)1.(5分)(2016·新乡模拟)若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=2相切,则此双曲线的离心率等于()A.B.C.D.2【解析】选B.由题意可知双曲线的渐近线方程之一为:bx+ay=0,圆(x-2)2+y2=2的圆心为(2,0),半径为...
