（新课改省份专用）高考数学一轮复习 课时跟踪检测（五十一）直线与椭圆的位置关系（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

课时跟踪检测（五十一）直线与椭圆的位置关系一、题点全面练1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是()A．至多为1B．2C．1D．0解析：选B由题意知＞2，即＜2，∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.2．中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选C由题设知c＝5，设椭圆方程为＋＝1，联立方程消去y，整理得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝＝1，解得a2＝75，所以椭圆方程为＋＝1.3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.C.D.解析：选C设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，当t＝0时，|AB|max＝.4．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(OP＋OF2)·PF2＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是()A．4B.3C．2D．1解析：选D (OP＋OF2)·PF2＝(OP－OF1)·PF2＝F1P·PF2＝0，∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝(m＋n)2－m2－n2＝4，mn＝2，∴＝mn＝1.5.过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若＜k＜，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析：选C由题意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝，于是k＝.又＜k＜，所以＜＜，化简可得＜＜，从而可得＜e＜，选C.6．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为__________．解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.答案：＋＝17．过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为__________．解析：过点M(－2,0)的直线m的方程为y－0＝k1(x＋2)，代入椭圆方程化简得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－2＝0，所以x1＋x2＝，所以点P，直线OP的斜率k2＝－，所以k1k2＝－.答案：－8．(2019·广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，点F关于直线y＝x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为__________．解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意可知c＝1，即a2－b2＝1①，设点F(1,0)关于直线y＝x的对称点为(m，n)，可得＝－2②.又因为点F与其对称点的中点坐标为，且中点在直线y＝x上，所以有＝×③，联立②③，解得即对称点为，代入椭圆方程可得＋＝1④，联立①④，解得a2＝，b2＝，所以椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝19．(2019·长春监测)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若AF1＝2F1B，求直线l的斜率k的值．解：(1)由解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，联立整理得y2－y－9＝0，Δ＝＋144＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，又AF1＝2F1B，所以y1＝－2y2，所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，则3＋4k2＝8，解得k＝±，又k＞0，所以k＝.10．(2018·成都模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程．解：(1)由题可知c＝，＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意．当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立消去x可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.Δ＝16m2＋48＞0，y1＋y2＝，y1y2＝. 点B在以MN为直径的圆上，∴BM·BN＝0. BM·BN＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1...