2.3.1抛物线及其标准方程课时过关·能力提升1.抛物线y2=12x的焦点坐标是()A.(12,0)B.(6,0)C.(3,0)D.(0,3)答案:C2.经过点(2,-3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是()A.y2=43xB.y2=92xC.y2=−43xD.y2=4x答案:B3.抛物线y2=43x的准线方程是()A.x¿13B.x¿23C.x=−23D.x=−13答案:D4.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且该圆与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为()A.(x-1)2+y2=6425B.x2+(y-1¿2=6425C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-1)2=1答案:C5.设点P是抛物线y2=16x上的点,它到焦点的距离h=10,则它到y轴的距离d等于()A.3B.6C.9D.12解析:设点P到抛物线y2=16x的准线的距离为l.由抛物线y2=16x知p2=4.由抛物线定义知l=h,又l=d+p2,故d=l−p2=h−p2=10-4=6.答案:B6.设定点M(3,103)与抛物线y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为()A.(0,0)B.(1,√2¿C.(2,2)D.(18,-12)1解析:连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知d1+d2的最小值是|MF|,当且仅当M,P,F三点共线时,等号成立,而直线MF的方程为y¿43(x-12),与y2=2x联立求得x=2,y=2;x¿18,y=−12¿),此时,点P的坐标为(2,2).答案:C7.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为.答案:y2=8x8.抛物线x=2y2的焦点坐标是.答案:(18,0)9.已知y2=2px(p>0),求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为直线3x+4y-12=0与x轴的交点;(2)焦点到直线x=-5的距离是8.解:(1)直线与x轴的交点为(4,0),则p2=4,∴p=8,∴方程为y2=16x.(2)焦点在x轴上,设为(p2,0),∴p2+5=8,解得p2=3,则其焦点为(3,0),∴p=6,故方程为y2=12x或y2=-52x.★10.如图,已知直线AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,F是抛物线的焦点,点A(x1,y1),B(x2,y2),求证:(1)y1y2=-p2,x1x2=p24;(2)|AB|=x1+x2+p¿2psin2θ¿θ为直线AB的倾斜角);(3¿1|AF|+1|BF|为定值.分析:设出直线AB的方程并与抛物线方程联立,借助一元二次方程根与系数的关系、抛物线的定义求解.证明:(1)由已知,得焦点F(p2,0),2当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-p2)(k≠0),由{y=k(x-p2),y2=2px,消去x,得ky2-2py-kp2=0.①由一元二次方程根与系数的关系,得y1y2=-p2,y1+y2=2pk.又由y=k(x-p2),得x=1ky+p2,故x1x2=(1ky1+p2)(1ky2+p2)=1k2y1y2+p2k(y1+y2)+p24=1k2(-p2)+p2k·2pk+p24=-p2k2+p2k2+p24=p24.当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=p2,则y1=p,y2=-p,则y1y2=-p2,x1x2=y122p·y222p=(y1y2)24p2=p24.综上,y1y2=-p2,x1x2=p24.(2)当直线AB的斜率存在时,由抛物线的定义知,|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2,∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.②又y=k(x-p2)(k≠0),∴x=1ky+p2,∴x1+x2=1k(y1+y2)+p.由①知y1+y2=2pk,∴x1+x2=2pk2+p,代入②得|AB|=2pk2+2p=2p(1+1k2)=2p(1+1tan2θ)=2psin2θ.当直线AB的斜率不存在,即θ=π2时,A(p2,p),B(p2,-p),|AB|=2p=p2+p2+p=2psin2π2.综上,|AB|=x1+x2+p=2psin2θ.(3)1|AF|+1|BF|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24,将x1x2=p24,x1+x2=|AB|-p,3代入上式,得1|AF|+1|BF|=|AB|p24+p2(|AB|-p)+p24=2p.故1|AF|+1|BF|为定值2p.4
