【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理学业分层测评苏教版选修2-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．下列命题中，假命题是________(填序号)．①若AB与CD共线，则A，B，C，D不一定在同一直线上；②只有零向量的模等于0；③共线的单位向量都相等．【解析】①②正确．共线的单位向量方向不一定相同，③错误．【答案】③2．下列结论中，正确的是________(填序号)．①若a，b，c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；②若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；③若a，b，c共面，b，c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc.【解析】要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提；b，c是不共线向量，否则即使三个向量a，b，c共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．【答案】②③3．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量OP＝OA＋OB＋λOC确定的点P与A，B，C共面，那么λ＝________.【解析】 P与A，B，C共面，∴AP＝αAB＋βAC，∴AP＝α(OB－OA)＋β(OC－OA)，即OP＝OA＋αOB－αOA＋βOC－βOA＝(1－α－β)OA＋αOB＋βOC，∴1－α－β＋α＋β＝1.因此＋＋λ＝1，解得λ＝.【答案】4．如图317，已知空间四边形ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF＝________(用向量a，b，c表示)．图317【解析】设G为BC的中点，连结EG，FG，则EF＝EG＋GF＝AB＋CD＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c.【答案】3a＋3b－5c5．如图318，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，则x＋y＋z＝________.1图318【解析】EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝AD－AB＋AA1，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.【答案】6．如图319，在三棱锥ABCD中，若△BCD是正三角形，E为其重心，则AB＋BC－DE－AD化简的结果为________.【导学号：09390071】图319【解析】 E为△BCD的重心，∴DE＝DF，DF＝DE.∴AB＋BC－DE－AD＝AB＋BF－AD－DE＝AF－AD－DE＝DF－DE＝0.【答案】07．i，j，k是三个不共面的向量，AB＝i－2j＋2k，BC＝2i＋j－3k，CD＝λi＋3j－5k，且A，B，C，D四点共面，则λ的值为________．【解析】若A，B，C，D四点共面，则向量AB，BC，CD共面，故存在不全为零的实数a，b，c，使得aAB＋bBC＋cCD＝0，即a(i－2j＋2k)＋b(2i＋j－3k)＋c(λi＋3j－5k)＝0，∴(a＋2b＋λc)i＋(－2a＋b＋3c)j＋(2a－3b－5c)k＝0. i，j，k不共面，∴∴【答案】18．有四个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB.其中真命题是________(填序号)．【解析】由共面向量定理知，①正确；若p与a，b共面，当a与b共线且p与a和b不共线时，就不存在实数组(x，y)使p＝xa＋yb成立，故②错误；同理③正确，④错误．【答案】①③2二、解答题9．如图3110所示，ABCDA1B1C1D1中，ABCD是平行四边形．若AE＝EC，A1F＝2FD，若AB＝b，AD＝c，AA1＝a，试用a，b，c表示EF.图3110【解】如图，连结AF，则EF＝EA＋AF.由已知ABCD是平行四边形，故AC＝AB＋AD＝b＋c，A1D＝A1A＋AD＝－a＋c.由已知，A1F＝2FD，∴AF＝AD＋DF＝AD－FD＝AD－A1D＝c－(c－a)＝(a＋2c)，又EA＝－AC＝－(b＋c)，∴EF＝EA＋AF＝－(b＋c)＋(a＋2c)＝(a－b＋c)．10．如图3111所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且CF＝CB，CG＝CD.求证：四边形EFGH是梯形．图3111【证明】 E，H分别是AB，AD的中点，∴AE＝AB，AH＝AD，则EH＝AH－AE＝AD－AB＝BD＝(CD－CB)＝＝(CG－CF)＝FG，∴EH∥FG且|EH|＝|FG|≠|FG|.又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形．能力提升]1．平面α内有点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足OA＝OB＋xOC＋yOD，OB＝2xOC＋OD＋yOE，则x＋3y＝________.【解析】由点A，B，C，D共面得x＋y＝，又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝，联立方程组解得x＝...
