（浙江专用）高考数学一轮复习 9.3 导数的应用（二） 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

第3讲导数的应用(二)基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·湖南卷)若0＜x1＜x2＜1，则()A．ex2－ex1＞lnx2－lnx1B．ex2－ex1＜lnx2－lnx1C．x2ex1＞x1ex2D．x2ex1＜x1ex2解析令f(x)＝，则f′(x)＝＝.当0＜x＜1时，f′(x)＜0，即f(x)在(0,1)上单调递减， 0＜x1＜x2＜1，∴f(x2)＜f(x1)，即，∴x2ex1＞x1ex2，故选C.答案C2．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的函数关系是R＝R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是()A．100B．150C．200D．300解析由题意得，总成本函数为C＝C(x)＝20000＋100x，总利润P(x)＝又P′(x)＝令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．答案D3．(2015·金华十校联考)若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a可能的值为()A．4B．6C．7D．8解析由题意得f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，由f′(x)＞0得x＜1或x＞2，由f′(x)＜0得1＜x＜2，所以函数f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)，若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a＝4，而选项中只给出了4，所以选A.答案A4．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点；C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点；D正确，函数y＝f(x)与y＝－1f(－x)的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．答案D5．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)解析(1)当a＝0时，显然f(x)有两个零点，不符合题意．(2)当a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.当a＞0时，＞0，所以函数f(x)＝ax3－3x2＋1在(－∞，0)和上为增函数，在上为减函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x0＞0，则f(0)＜0，即1＜0，不成立．当a＜0时，＜0，所以函数f(x)＝ax3－3x2＋1在和(0，＋∞)上为减函数，在上为增函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x0＞0，则f＞0，即a·－3·＋1＞0，解得a＞2或a＜－2，又因为a＜0，故a的取值范围为(－∞，－2)．答案C二、填空题6．(2014·唐山模拟)已知a＞0，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在区间[－2,2]上单调递减，则4a＋b的最大值为__________．解析 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 函数f(x)在区间[－2,2]上单调递减，∴即即4a＋b≤－12，∴4a＋b的最大值为－12.答案－127．(2015·湖州质检)已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________.解析当x∈(0,1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥，设g(x)＝，x∈(0,1]，g′(x)＝＝－.g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表：xg′(x)＋0－g(x)极大值4因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．答案[4，＋∞)8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．解析对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，2由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又 f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.答案－13三、解答题9．(2014·衢州一模)设函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋，函数f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上，且在此点有公切线．(1)求a，b的值；(2)试比较f(x)与g(x)的大小．解(1)f(x)＝lnx的图象与x轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得...