第四节数系的扩充与复数的引入时间：45分钟分值：100分一、选择题1．(2014·山东卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝()A．3－4iB．3＋4iC．4－3iD．4＋3i解析∵a＋i＝2－bi，∴a＋bi＝2－i.即(a＋bi)2＝(2－i)2＝4－4i－1＝3－4i.答案A2．(2014·湖北卷)i为虚数单位，2＝()A．1B．－1C．iD．－i解析因为＝＝＝－i.所以2＝(－i)2＝－1，故选B.答案B3．(2014·“皖南七校”联合考试)复数z＝(i是虚数单位)在复平面内的对应点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析∵i2014＝(i2)1007＝(－1)1007＝－1，∴z＝＝－＝－＝－，∴z在复平面内的坐标为，故选C.答案C4．(2015·四川模拟)在复平面内，复数z和表示的点关于虚轴对称，则复数z＝()A.＋iB.－iC．－＋iD．－－i解析由＝－＋i可知复数z对应的点为，其关于虚轴的对称点为，故复数z＝＋i，故选A.答案A5．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，则|z1＋z2|＝()A．2B．3C．2D．3解析由题图可知，z1＝－2－i，z2＝i，则z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2，故选A.答案A6．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则＝B．若z1＝，则＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2·D．若|z1|＝|z2|，则z＝z解析对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒＝，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i是假命题．答案D二、填空题7．若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是________．解析(a＋i)2＝a2－1＋2ai，由题意知a2－1＝0且2a<0，即a＝－1.答案－18．已知i是虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2013＝________.解析∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，∴i＋i2＋i3＋…＋i2013＝i.答案i9．已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________.解析∵z＝＝＝＝2＋i，∴|z|＝.答案三、解答题10．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0.解得a＝－5或a＝3.∵分母a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.11．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解如图，z1，z2，z3分别对应点A，B，C.∴AB＝OB－OA.∴AB所对应的复数为z2－z1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i.在正方形ABCD中，DC＝AB，∴DC所对应的复数为－3－i.又DC＝OC－OD，∴OD＝OC－DC所对应的复数为z3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i，∴第四个顶点对应的复数为2－i.1．(2015·湖北部分重点中学一联)若z＝sinθ－＋i是纯虚数，则tan＝()A．－B．－7C．－D．－1解析依题意∴sinθ＝，cosθ＝－，∴tanθ＝＝－，∴tan＝＝＝－7.选B.答案B2．设z是复数，则下列命题中的假命题是()A．若z2≥0，则z是实数B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2<0解析实数可以比较大小，而虚数不能比较大小；设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得则b＝0，所以A正确；同理，z2<0，则z是纯虚数，所以B正确；反过来，z是纯虚数，则z2<0，D正确；对于选项C，不妨取z＝1＋i，则z2＝2i不能与0比较大小．答案C3．(2014·广东卷)对任意复数ω1，ω2，定义ω1]，其中是ω2的共轭复数．对任意复数z1，z2，z3，有如下四个命题：①(z1＋z2)*z3＝(z1]()A．1B．2C．3D．4解析由定义知(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)·＝z1＋z2＝(z1]＝z1(＋)＝z1＋z1＝z1])*z3＝z1，右边＝z1])＝z1z2＝z1z3，左边≠右边，故③错误；对于④，取z1＝1＋i，z2＝2＋i，左边＝z1＝(1＋i)(2－i)＝3＋i；右边＝z2＝(2＋i)(1－i)＝3－i，左边≠右边，故④错误，故选B.答案B4．设复数z＝－3cosθ＋2isinθ.(1)当θ＝π时，求|z|的值；(2)若复数z所对应的点在直线x＋3y＝0上，求的值．解(1)∵θ＝π，∴z＝－3cosπ＋2isinπ＝－i.∴|z|＝＝.(2)由条件得－3cosθ＋3×2sinθ＝0，∴tanθ＝.原式＝＝＝.
