1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用A级基础巩固一、选择题1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于()A(x－x3)dxB.(x3－x)dxC．2(x－x3)dxD．2(x－x3)dx解析：由图象可知，当x∈(0，1)时，y＝x的图象在y＝x3图象的上方，根据对称性知，选项C正确．答案：C2．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积是()A.(x2－1)dxB．|(x2－1)dx|C.|x2－1|dxD.(x2－1)dx＋(x2－1)dx解析：y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，选项C正确．答案：C3．如图所示，阴影部分的面积是()A．2B．2－2C.D.解析：S＝(3－x2－2x)dx＝＝＋9＝，故应选C.答案：C4．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F所做的功是()A．8JB．10JC．12JD．14J解析：W＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14(J)．答案：D5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25lnC．4＋25ln5D．4＋50ln2解析：令7－3t＋＝0，解得t＝－(舍去)或t＝4.则dt＝＝4＋25ln5.答案：C1二、填空题6．直线x＝，x＝，y＝0及曲线y＝cosx所围成图形的面积________．解析：由题意作出图形如图所示，由图形面积为答案：27．已知质点的速度v＝10t，则从t＝t1到t＝t2质点的平均速度为________．解析：由s＝t2t110tdt＝5t2|t2t1＝5(t－t)，得平均速度为v＝＝5(t2＋t1)．答案：5(t2＋t1)8．有一横截面面积为4cm2的水管控制往外流水，打开水管后ts末的流速为v(t)＝6t－t2(t的单位：s，v的单位：cm/s；0≤t≤6)，则t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为________cm3.解析：由题意，可得t＝0到t＝6这段时间内流出的水量V＝4(6t－t2)dt＝4(6t－t2)dt＝40＝144(cm3)，故t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为144cm3.答案：144三、解答题9．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解：(1)因为y＝f(x)是二次函数，且f′(x)＝2x＋2，所以设f(x)＝x2＋2x＋c.又f(x)＝0有两个等根，所以4－4c＝0，得c＝1，所以f(x)＝x2＋2x＋1.(2)y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积为(x2＋2x＋1)dx＝＝.10．一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比，如果25N的力能使弹簧伸长2.5cm，求把弹簧从平衡位置拉长8cm(在弹性限度内)时拉力所做的功．解：设拉力为FN，弹簧伸长的长度为xm，则F＝kx，其中k为比例系数．由x＝0.025时，F＝25，得k＝1000，所以F＝1000x.由变力做功公式，得W＝1000xdx＝500x2＝3.2(J)．故把弹簧从平衡位置拉长8cm时拉力所做的功为3.2J.B级能力提升1．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，ts时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()2A.mB.mC.mD.m解析：v＝0时物体达到最高，此时40－10t2＝0，则t＝2s.又因为v0＝40m/s，所以t0＝0s.所以h＝(40－10t2)dt＝0＝(m)．答案：A2．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为________．解析：W＝F(x)cos30°dx＝(5－x2)dx＝＝＝(J)．答案：J3．如图所示，过点A(6，4)作曲线f(x)＝的切线l.(1)求切线l的方程；(2)求由切线l，x轴及曲线f(x)＝所围成的封闭图形的面积S.解：(1)因为f(x)＝，所以f′(x)＝.又点A(6，4)为切点，因为f′(6)＝，因此切线的方程为y－4＝(x－6)，即x－2y＋2＝0.(2)令f(x)＝0，则x＝2，即点C(2，0)．在x－2y＋2＝0中，令y＝0，则x＝－2，所以点B(－2，0)．故S＝dx－dx＝－2－2＝.34
