抛物线(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设抛物线y=Error:Referencesourcenotfoundx2上的一点P到x轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离为()A.3B.4C.5D.6【解题提示】由题意可得点P的纵坐标为4,由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线y=-1的距离,由此求得结果.【解析】选C.由于抛物线y=Error:Referencesourcenotfoundx2上的一点P到x轴的距离是4,故点P的纵坐标为4.再由抛物线y=Error:Referencesourcenotfoundx2的准线为y=-1,结合抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离,故点P到该抛物线焦点的距离是4-(-1)=5.2.(2016·邢台模拟)已知圆C:(x+1)2+y2=r2与抛物线D:y2=16x的准线交于A,B两点,且Error:Referencesourcenotfound=8,则圆C的面积为()A.5πB.9πC.16πD.25π【解析】选D.设抛物线的准线交x轴于点E,则CE=3,所以r2=32+42=25,所以圆C的面积为25π.【加固训练】设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound=0,则|FA|+|FB|+|FC|等于()A.9B.6C.4D.3【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又F(1,0).由Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound=0知(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,即x1+x2+x3=3,|FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+Error:Referencesourcenotfoundp=6.3.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4Error:Referencesourcenotfoundx的焦点,P为C上一点,若|PF|=4Error:Referencesourcenotfound,则△POF的面积为()A.2B.2Error:ReferencesourcenotfoundC.2Error:ReferencesourcenotfoundD.4【解析】选C.抛物线C的方程为y2=4Error:Referencesourcenotfoundx,所以2p=4Error:Referencesourcenotfound,可得Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound,得1焦点F(Error:Referencesourcenotfound,0).设P(m,n),根据抛物线的定义,得|PF|=m+Error:Referencesourcenotfound=4Error:Referencesourcenotfound,即m+Error:Referencesourcenotfound=4Error:Referencesourcenotfound,解得m=3Error:Referencesourcenotfound.因为点P在抛物线C上,得n2=4Error:Referencesourcenotfound×3Error:Referencesourcenotfound=24,所以n=±Error:Referencesourcenotfound=±2Error:Referencesourcenotfound,因为|OF|=Error:Referencesourcenotfound,所以△POF的面积S=Error:Referencesourcenotfound|OF|×|n|=Error:Referencesourcenotfound×Error:Referencesourcenotfound×2Error:Referencesourcenotfound=2Error:Referencesourcenotfound.4.已知抛物线y2=4x的焦点F,A,B是抛物线上横坐标不相等的两点,若AB的垂直平分线与x轴的交点是(4,0),则|AB|的最大值为()A.2B.4C.6D.10【解题提示】可将|AB|与|AF|,|BF|之间的关系联系起来,再利用抛物线的定义求解.【解析】选C.因为抛物线y2=4x的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB的垂直平分线恰过点M(4,0),所以|MA|2=|MB|2,即(4-x1)2+Error:Referencesourcenotfound=(4-x2)2+Error:Referencesourcenotfound,又Error:Referencesourcenotfound=4x1,Error:Referencesourcenotfound=4x2,代入并展开得:16-8x1+Error:Referencesourcenotfound+4x1=Error:Referencesourcenotfound-8x2+16+4x2,即Error:Referencesourcenotfound-Error:Referencesourcenotfound=4x1-4x2,又x1≠x2,所以x1+x2=4,所以线段AB中点的横坐标为Error:Referencesourcenotfound(x1+x2)=2,所以AB≤AF+BF=Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound=4+2=6(当A,B,F三点共线时取等号),即|AB|的最大值为6.5.(2016·郑州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=2C.x=-1D.x=-2【解析】选C.由题意可设直线方程为y=-Error:Referencesourcenotfound,设A(x1,y1),B(x2,y2),2联立方程Error:Referencesourcenotfound整理得y2+2py-p2=0,所以y1+y2=-2p.因为线段AB的中点的纵坐标为-2,所以Error:Re...
