题组层级快练(三十四)1．若(x＋i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝()A．±1B．2C．－1D．1答案A解析(x＋i)2＝x2－1＋2xi，因为(x＋i)2是纯虚数，所以x＝±1.2．(2019·河北辛集中学月考)若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b等于()A.B.C．－D．2答案C解析＝＝，由题意得－＝0，得b＝－.3．(2017·课标全国Ⅰ，文)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)答案C解析i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除A；i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数，排除B；(1＋i)2＝2i，2i是纯虚数．故选C.4．(2019·唐山二模)若复数z＝(i是虚数单位，a∈R)是纯虚数，则z的虚部为()A．1B．iC．2D．2i答案A解析设z＝＝bi(b∈R且b≠0)，则1＋i＝b＋abi，∴b＝1.选A.5．(2019·安徽江南十校3月联考题)若复数z满足z(1－i)＝|1－i|＋i，则z的实部为()A.B.－1C．1D.答案A解析由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝＝＝＋i，故z的实部为，故选A.6．(2019·湖北高中联考)已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则－z2的共轭复数是()A．－1＋3iB．1＋3iC．1－3iD．－1－3i答案B解析－z2＝－(1＋i)2＝－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共轭复数是1＋3i，故选B.7．(2019·山西四校联考)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是()A．－2B．－1C．0D.答案C解析∵＝＝－i＝a＋bi，∴∴lg(a＋b)＝lg1＝0.8.(2019·湖北黄冈期末)复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，z1＝3＋4i，将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点B，则z2＝()A．3－4iB．－4－3iC．－4＋3iD．－3－4i答案B解析由题意知A(3，4)，B(－4，3)，即z2＝－4＋3i，z2＝－4－3i.9．(2014·江西，理)z是z的共轭复数，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，则z＝()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i答案D10．设a是实数，且＋是实数，则a＝()A．1B.C.D．－答案A解析＋＝＋＝，由于该复数为实数，故－a＋1＝0，即a＝1.11．下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2,p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i,p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4答案C解析∵z＝＝－1－i，∴|z|＝，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．12．(2016·课标全国Ⅲ)若z＝1＋2i，则＝()A．1B．－1C．iD．－i答案C解析＝＝i.13．(2017·北京)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)答案B解析因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1，1－a)，又此点在第二象限，所以解得a<－1，故选B.14．(2019·邯郸二模)复数z在复平面内表示的点Z如图所示，则使得z2·z1是纯虚数的一个z1是()A．3－4iB．4＋3iC．3＋4iD．4－3i答案D解析由题意可得，z＝－2＋i，令z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2·z1＝(a＋bi)(－2＋i)2＝(a＋bi)(3－4i)．又z2·z1为纯虚数，则z2·z1实部为0，即3a＋4b＝0，故选D.15．(2015·天津，理)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．答案－2解析由题意知，复数(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，则实部a＋2＝0，虚部1－2a≠0，解得a＝－2.16．(2016·天津)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．答案2解析(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，所以b＝1，a＝2，＝2.17．(2019·江苏阜宁中学调研)若复数z＝i＋i2020，则z＋的模等于________．答案6解析z＝i＋i2020＝i＋1，z＋＝1－i＋＝6－6i，其模为6.18．i＋i2＋i3＋…＋i2019的值是________．答案－1解析原式＝＝＝＝i·i＝－1.19．(2019·河南许昌高中联考)给出下列四个命题：①满足：z＝的复数有±1，±i；②若a，b∈R且a＝b，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数；③复数z∈R的充要条件是z＝z；④在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．其中正确的命题是________．答案③解析因为i2＝－1，所以命题①不正确；对于命题②，当a＝b＝0时，不成立，命题②不正确；由共轭复数的定义知，命题③正确；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，命题④不正确．20．计算：(1)；(2)＋；(3).答案(1)＋i(2)－1(3)－－i解析(1)＝＝＝＝＋i.(2)＋＝＋＝＋＝－1.(3)＝＝＝＝－－i.
