高考数学 向量中的三角形四“心”探究知识分析VIP免费

向量中的三角形四“心”探究三角形的四“心”与平面向量有着千丝万缕的关系，对这两者进行一定的探究，有助于我们更准确把握向量的本质．在10年全国卷里有这样一道高考题：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足ABACOPOAABAC���，0,，则P点的轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心简析：本题通过考察平面向量中的单位向量与相关运算相关知识，来探究三角形中的四“心”问题．取ABAMAB���，ACANAC���，则AM�、AN�是单位向量，如图1，四边形AMQN是菱形，且AQ是BAC的角平分线OPOAAQ�，0,即APAQ�，P点的轨迹就是射线AQ�，P点的轨迹一定通过ABC的内心，故选B.这里我们很自然地会联想：满足条件的点P的轨迹通过ABC的内心，那么能不能构造一个类似的向量式子，使点P的轨迹通过ABC的外心，重心或垂心？变题1：O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足OPOAABAC�，0,，则P点的轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心简析：如图2，取BC边上的中点D，连接AD.用心爱心专心1XA图1..AMOYCPQ.NB2ABACAD�2OPOAAD�，0,2APAD�，0,P点的轨迹就是射线AD�.P点的轨迹一定通过ABC的重心，故选C.其实众所周知，在平面向量中，三角形的重心还有一个非常重要的结论：点G为ABC的重心的充要条件是：0GAGBGC�证明：若点G是ABC的重心，O是任意一点，易得13OGOAOBOC�，当O与G重合时得0GAGBGC�；另一方面，以GC、GB为边作平行四边形GBEC，则GBGCGEGA�，A、G、E三点共线，可知G必为ABC的重心．应用1：（2010年全国联赛）ABC的三边长,,BCaACbABc，G为ABC的重心，若满足0aGAbGBcGC�，则ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．钝角三角形简析：G为重心，则有()GCGAGB�代入0aGAbGBcGC�，得0acGAbcGB�，故abc，所以应选C．应用2：（2010年全国联赛）设O点在ABC内部，且有230OAOBOC�，则ABC的面积与AOC的面积比为（）A．2B．32C．3D．53用心爱心专心2图2PBX....ACDOY.P图2简析：如图3，延长OC至F，使3OFOC；延长OB至E，使2OEOB，由题意知0OAOEOF�，可知O是AEF的重心．有13AOEEOFAOFAEFSSSS，而1111sinsin2426AOBAOEAEFSOAOBAOBOAOEAOESS．同理得11618BOCEOFAEFSSS，1139AOCAOFAEFSSS，所以13ABCABOBOCAOCAEFSSSSS，故有13AOCABCSS，所以选C.变题2：O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足coscosABACOPOAABABCACBCA���，0,，则P点的轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心简析：在式子coscosABACOPOAABABCACBCA���的两边点乘BC�，coscosABBCACBCABABCACBCA��coscoscoscosABBCABCACBCBCAABABCACBCA��=0用心爱心专心3Y图4B..ACXOP.XABOCFE图3OPBCOABC�0APBC�，（如图4）P点的轨迹过点A且垂直于边BC，P点的轨迹一定通过ABC的垂心，故选D.变题3：O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足2coscosOBOCABACOPABABCACBCA���，0,，则P点的轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心简析：如图5，取BC边上的中点D，2OBOCOD��，所以式子2cosOBOCABOPABABC���cosACACBCA��可化简成coscosABACOPODABABCACBCA���在式子coscosABACOPODABABCACBCA���的两边点乘BC�，coscosABBCACBCABABCACBCA��=0用心爱心专心4如图4图5P....BACDXOY.OPBCODBC�0DPBC�，P点...