第5章数列第2节等差数列及其前n项和1.(2014辽宁,5分)设等差数列{an}的公差为d,若数列{2a1an}为递减数列,则()A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>0解析: 数列{2a1an}为递减数列,a1an=a1[a1+(n-1)d]=a1dn+a1(a1-d),等式右边为关于n的一次函数,∴a1d<0.答案:C2.(2014福建,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于()A.8B.10C.12D.14解析:设等差数列{an}的公差为d,则S3=3a1+3d,所以12=3×2+3d,解得d=2,所以a6=a1+5d=2+5×2=12,故选C.答案:C3.(2014新课标全国卷Ⅰ,12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.(1)证明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.解:(1)证明:由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1.两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1.由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.(2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.4.(2013安徽,5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=()A.-6B.-4C.-2D.2解析:本题主要考查等差数列的基础知识和基本运算,意在考查考生的运算求解能力.根据等差数列的定义和性质可得,S8=4(a3+a6),又S8=4a3,所以a6=0,又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.答案:A5.(2013新课标全国Ⅰ,12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列的前n项和.解:本题主要考查等差数列的基本知识,特殊数列求和等.(1)设{an}的公差为d,则Sn=na1+d.由已知可得解得a1=1,d=-1.故{an}的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知==,从而数列的前n项和为=.6.(2013新课标全国Ⅱ,12分)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.解:本题主要考查等比数列的性质、等差数列的通项公式及等差数列的求和,意在考查考生的运算求解能力.(1)设{an}的公差为d.由题意,a=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d),于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去),或d=-2.故an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.从而Sn=(a1+a3n-2)=·(-6n+56)=-3n2+28n.7.(2013山东,12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足++…+=1-,n∈N*,求{bn}的前n项和Tn.解:本题主要考查等差数列的通项公式、错位相减法等知识,考查方程思想、转化思想和运算能力、推理论证能力.(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.由S4=4S2,a2n=2an+1得解得a1=1,d=2.因此an=2n-1,n∈N*.(2)由已知++…+=1-,n∈N*,当n=1时,=;当n≥2时,=1--=,所以=,n∈N*.由(1)知an=2n-1,n∈N*,所以bn=,n∈N*.又Tn=+++…+,Tn=++…++,两式相减得Tn=+-=--,所以Tn=3-.8.(2013新课标全国Ⅰ,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6解析:本题考查等差数列的定义、通项公式和前n项和公式,意在考查考生通过等差数列的定义、通项公式、前n项和公式求解基本量的能力.根据已知条件,得到am和am+1,再根据等差数列的定义得到公差d,最后建立关于a1和m的方程组求解.由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以等差数列的公差为d=am+1-am=3-2=1,由得解得选择C.答案:C9.(2013新课标全国Ⅱ,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为________.解析:本题考查等差数列的前n项和公式以及通过转化利用函数的单调性判断数列的单调性等知识,...