11.3.3平面与平面平行关键能力·素养形成类型一平面与平面平行的判定【典例】1.底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,与平面BB1C1C平行的平面是()A.平面AA1D1DB.平面AA1B1BC.平面DD1C1CD.平面ABCD2.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形,E,F,H分别为AB,CD,PD的中点.求证:平面AFH∥平面PCE.【思维·引】1.利用面面平行的判定定理即可得出结论.2.为证平面AFH∥平面PCE,在矩形ABCD中,AF∥CE,在△PCD中,FH∥PC.【解析】1.选A.根据图形及面面平行的判定定理知,平面BB1C1C∥平面AA1D1D.2.因为F为CD的中点,H为PD的中点,所以FH∥PC,且FH⊄平面PCE,所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE=CF,所以四边形AECF为平行四边形,所以AF∥CE,且AF⊄平面PCE,所以AF∥平面PCE.由FH⊂平面AFH,AF⊂平面AFH,FH∩AF=F,所以平面AFH∥平面PCE.【内化·悟】证明两个平面平行经常转化为什么问题?提示:证明两个平面平行经常转化为一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.【类题·通】平面与平面平行的判定方法(1)定义法:两个平面没有公共点.(2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.(3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.(4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.【习练·破】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,G为DD1上一点,且D1G∶GD=1∶2,AC∩BD=O.求证:平面AGO∥平面D1EF.【证明】设EF∩BD=H,连接D1H,在△DD1H中,因为==,所以GO∥D1H,又GO⊄平面D1EF,D1H⊂平面D1EF,所以GO∥平面D1EF.在△BAO中,因为BE=EA,BH=HO,所以EH∥AO,又AO⊄平面D1EF,EH⊂平面D1EF,所以AO∥平面D1EF,又GO∩AO=O,所以平面AGO∥平面D1EF.【加练·固】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面.(2)平面EFA1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB,A1G=EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.类型二面面平行性质定理的应用角度1与性质有关的证明问题【典例】如图,在四面体ABCD中,点E,F分别为棱AB,AC上的点,点G为棱AD的中点,且平面EFG∥平面BCD.世纪求证:BC=2EF.【思维·引】由平面EFG∥平面BCD,可得出线线平行,再利用点G为棱AD的中点,即可得出结论.【证明】因为平面EFG∥平面BCD,平面ABD∩平面EFG=EG,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EG∥BD,又G为AD的中点,故E为AB的中点,同理可得,F为AC的中点,所以BC=2EF.【素养·探】在与面面平行性质定理的应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,根据平面与平面平行推出直线与直线平行,计算题中可以进一步得到三角形相似等结论,推出有关的等量关系.角度2与性质有关的计算问题【典例】已知平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB,CD交于点S,且SA=8,SB=9,CD=34.(1)若点S在平面α,β之间,则SC=________.(2)若点S不在平面α,β之间,则SC=________.世纪【思维·引】由平面α∥平面β推出直线与直线平行,进而根据三角形相似列方程解出SC.【解析】(1)如图①所示,因为AB∩CD=S,所以AB,CD确定一个平面,设为γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.因为α∥β,所以AC∥BD.于是=,即=.所以SC===16.(2)如图②所示,同理知AC∥BD,则=,即=,解得SC=272.答案:(1)16(2)272【类题·通】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤提醒:面面平行性质定理的实质:面面平行⇒线线平行,体现了转化思想.与判定定理交替使用,可实现线面、线线、面面平行间的相互转化.【发散·拓】1.常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平...
