高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.1 不等式例题与探究 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP专享VIP免费

1.1.1不等式典题精讲【例1】若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是（）A.ba11B.a2>b2C.1122cbcaD.a|c|>b|c|思路解析：本题只提供了“a,b,c∈R,a>b”这个条件，而不等式的基本性质中，几乎都有类似的前提条件，但结论会根据不同的要求有所不同，因而这需要根据本题的四个选择项来进行判断.选项A，还需有ab>0这个前提条件；选项B，当a,b都为负数或一正一负时都有可能不成立，如2>-3，但22>(-3)2不正确；选项C，112c>0，因而正确；选项D，当c=0时不正确.答案：C绿色通道：考查不等式的基本性质的选择题，解答时，一是利用不等式的相关性质，其中，特别要注意不等号变号的影响因素，如数乘、取倒数、开方、平方等；二是对所含字母取特殊值，结合排除法去选正确的选项，这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代表性，如选取0、正数、负数等.【变式训练1】如果a,b,c满足cacB.c(b-a)>0C.cb20,c<0，但b的正负情况不确定.方法一：取a=1,b=0,c=-1分别代入A、B、C、D中验证可知C不成立.方法二：由题意，知c<0，a>0，则A一定正确；又c<0,b-a<0,所以c(b-a)>0，所以B一定正确；ac<0,a-c>0，所以ac(a-c)<0，所以D一定正确.故选C（当b=0时，不成立）.答案：C【变式训练2】已知a<0,b<-1，则下列不等式成立的是（）A.a>ba>ab2B.2ba>ba>aC.ba>2ba>aD.ba>a>2ba思路解析：本题中的四个选项，实际是在比较三个数的大小，可以认为是先比较b1、21b、1的大小关系，再比较ba、2ba、a的大小，又因为a<0，所以又可认为是在比较b1、21b、-1的大小.因为b<-1，所以1>21b>b1.也可以令a=-1,b=-2，分别代入A,B,C,D中，知A、B、D均错.答案：C【例2】设a>0且a≠1,01和01时， 01.∴loga(1-x)<0,loga(1+x)>0.1∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-logα(1-x)-loga(1+x)=-［loga(1-x)+loga(1+x)］=-loga(1-x)(1+x)=-loga(1-x2). 00.∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.（2）当00,loga(1+x)<0,∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)+loga(1+x)=loga(1-x2)>0.∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.综合①②,可知|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.绿色通道：比较实数大小，常用作差或作商法，作差法中差式最后的形式可以有多种，如常数、平方数（式）、因式相乘等，这些结果形式在某些条件下是非常容易得到差式符号的，但在作差变形中，也存在一定的变化技巧，如平方相减、配方等.如果要比较的项较多，可恰当选取“分界量”，如先找出正数、负数，在正数中找比1大的数，比1小的数等.【变式训练1】比较（6n+1）3-(6n-1)3与2的大小（n≠0）.思路分析：本题中6n为一个整体，因而可以用换元法将第一个式子化简变形，再与2比较大小.解：设a=6n,则（6n+1）3-(6n-1)3=(a+1)3-(a-1)3=(a3+3a2+3a+1)-(a3-3a2+3a-1)=6a2+2=n2+2.∴(6n+1)3-(6n-1)3-2=n2. n≠0,∴n2>0.∴(6n+1)3-(6n-1)3>2.【变式训练2】已知a>0且a≠1,P=loga(a2-a+1),Q=loga(a3-a+1),则P与Q的大小关系是_____________.思路解析：P与Q两数是对数式，两对数同底，因此只需比较两真数的大小，但应对a讨论.2（a3-a+1）-(a2-a+1)=a3-a2=a2(a-1).当a>1时,函数y=logax是增函数.a2(a-1)>0,∴P