1.3.2存在量词与特称命题[基础达标]1.下列命题为特称命题的是()A．偶函数的图像关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于或等于3解析：选D.选项D中的命题含有存在量词“存在”，因此它是特称命题．2.下列命题中是全称命题并且是真命题的是()A．每一个二次函数的图像都是开口向上B．存在一条直线与两个相交平面都垂直C．存在一个实数x，使x2－3x＋6＜0D．对任意c≤0，若a≤b＋c，则a≤b解析：选D.对A当二次项系数小于零时不成立，A为假命题；B、C均为特称命题．故选D.3.下列命题中，真命题是()A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数解析：选A.由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．下列命题是假命题的为()A．存在x∈R，lgex＝0B．存在x∈R，tanx＝xC．任意x∈(0，)，＞cosxD．任意x∈R，ex＞x＋1解析：选D.对A，x＝0时成立，为真命题；对B，当x＝0时成立，为真命题；对C， x∈(0，)，cosx＞0，0＜sinx＜1，∴＝＞cosx，为真命题，故选D.下列命题：①存在x＜0，使|x|＞x；②对于一切x＜0，都有|x|＞x；③已知an＝2n，bn＝3n，对于任意n∈N＋，都有an≠bn；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝∅.其中，所有正确的命题为()A．①②B．②③C．①②③D．①②③④解析：选C.命题①②显然为真命题；③由于an－bn＝2n－3n＝－n＜0，对于任意n∈N＋，都有an＜bn，即an≠bn，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1，2，3时，A∩B＝{6}，故为假命题．若“存在x∈R，x2＋2x＋2＝m”是真命题，则实数m的取值范围是________．解析：由题意知x2＋2x＋2－m＝0有实根，∴Δ＝22－4(2－m)≥0，∴m≥1.答案：[1，＋∞)若对任意x∈R，都有ax2＋2x＋a＜0，则实数a的取值范围是________．解析：命题为真命题时，有解得a＜－1.即a的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)命题“对任意x∈R，存在m∈Z，使m2－m＜x2＋x＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于对任意x∈R，x2＋x＋1＝＋≥，所以只需m2－m＜，即－＜m＜.所以当m＝0或m＝1时，对任意x∈R，m2－m＜x2＋x＋1成立，因此该命题是真命题．答案：真9.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)任意x∈(－1，2)，x2－x＜2；(2)存在x∈{x|x＞1}，log2x＋logx2＜2；(3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．解：(1)全称命题．由于x2－x＜2⇔x2－x－2＜0⇔－1＜x＜2，所以任意x∈(－1，2)，x2－x＜2成立．真命题．(2)特称命题．当x∈{x|x＞1}时，log2x＞0，故log2x＋logx2＝log2x＋≥2，当且仅当x＝2时，(log2x＋logx2)min＝2，所以不存在x∈{x|x＞1}，使log2x＋logx2＜2成立．假命题．(3)全称命题．当a＞1时，指数函数f(x)＝ax为增函数，当0＜a＜1时，指数函数f(x)＝ax为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．1(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除，真命题．10.不等式x2－2mx－1＞0对一切1≤x≤3都成立，求m的取值范围．解：法一： Δ＝4m2＋4＞0恒成立，∴设方程x2－2mx－1＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2. {x|1≤x≤3}⊆{x|x2－2mx－1＞0}＝{x|x＞x2或x＜x1}，∴方程x2－2mx－1＝0的两根x1，x2都大于3或都小于1. x1x2＝－1＜0，∴两根都小于1.令y＝x2－2mx－1，则解得m＜0.∴m的取值范围为{m|m＜0}．法二： 1≤x≤3，x2－2mx－1＞0，∴m＜＝.当x∈[1，3]时，函数y＝x－单调递增，∴∈，∴m＜0.[能力提升]下列命题中，真命题是()A．存在x0∈R，ex0≤0B．任意x∈R，2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是＝－1D．a>1，b>1是ab>1的充分条件解析：选D.对于A， ex>0恒成立，∴A选项不正确．对于B，当x＝2时，22＝22，∴B不正确．对于C，当a＝b＝0时，无意义，∴C不正确．对于D，当a>1，b>1时，ab>1显然成立，反之，当ab>1时，以a＝，b＝4为例，易知推不出a>1且b>1....
