第2课时空间向量与垂直关系单元过关试卷一、基础过关1.若平面α、β的法向量分别为u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则()A.α∥βB.α⊥βC.α、β相交但不垂直D.以上均不正确2.若直线l的一个方向向量为a=(2,5,7),平面α的一个法向量为u=(1,1,-1),则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.A、C均有可能3.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是()A.(1,-1,1)B.C.D.4.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1A5.已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是()A.B.C.D.6.已知平面α和平面β的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥β,则x=________.高中数学选修2-1:空间向量与立体几何(共2页)第1页7.下列命题中:①若u,v分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔u·v=0;②若u是平面α的法向量且向量a与α共面,则u·a=0;③若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.正确的命题序号是________.8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面ABCD的法向量;④AP∥BD.其中正确的是________.(填序号)二、能力提升9.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=CC1.求证:AB1⊥MN.10.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,试在棱BB1上找一点M,使得D1M⊥平面EFB1.111.如图所示,△ABC是一个正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:平面DEA⊥平面ECA.三、探究与拓展12.如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,AD=AB,E是PC的中点.证明:PD⊥平面ABE.高中数学选修2-1:空间向量与立体几何(共2页)第2页2答案1.C2.D3.B4.B5.D6.-47.①②③8.①②③9.证明设AB中点为O,作OO1∥AA1,以O为坐标原点,OB为x轴,OC为y轴,OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A,B,C,N,B1.∵M为BC中点,∴M.∴MN=,AB1=(1,0,1),∴MN·AB1=-+0+=0.∴MN⊥AB1,∴AB1⊥MN.10.解建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为2,则E(2,1,0),F(1,2,0),D1(0,0,2),B1(2,2,2).设M(2,2,m),则EF=(-1,1,0),B1E=(0,-1,-2),D1M=(2,2,m-2).∵D1M⊥平面EFB1,∴D1M⊥EF,D1M⊥B1E,∴D1M·EF=0且D1M·B1E=0,于是∴m=1,故取B1B的中点为M就能满足D1M⊥平面EFB1.11.证明建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).所以EA=(,1,-2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,-1).分别设面CEA与面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则即解得即解得不妨取n1=(1,-,0),n2=(,1,2),因为n1·n2=0,所以两个法向量相互垂直.所以平面DEA⊥平面ECA.12.证明∵PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,∴AB、AD、AP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1)、A(0,0,0)、B(1,0,0)、D.∵∠ABC=60°,∴△ABC为正三角形.∴C,E.∴AB=(1,0,0),AE=,∴设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则3令y=2,则z=-,∴n=(0,2,-).∵PD=,显然PD=n,∴PD∥n,∴PD⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.4