3-1-3导数的几何意义综合提升案·核心素养达成[限时40分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是A．在点x＝x0处的函数值B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率解析根据导数的几何意义可知选项C正确．答案C2．曲线y＝x2－2x＋4在点(1，3)处的切线的斜率为A．0B．1C．－1D.解析k＝f′(1)＝lim＝lim＝limΔx＝0.答案A3．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则切点P的坐标为A．(－2，1)B．(0，－7)C．(2，1)D．(3，11)解析设P点坐标为(x0，2x－7)，则f′(x0)＝lim＝lim＝lim(4x0＋2Δx)＝4x0.∴4x0＝8，∴x0＝2.∴P(2，1)．答案C4．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x＋y＋5＝0，则A．f′(x0)>0B．f′(x0)<0C．f′(x)＝0D．f′(x0)不存在解析由y＝－3x－5知f′(x0)＝－3<0.答案B5．若曲线y＝x2上的点P处的切线与直线y＝－x＋1垂直，则在点P处的切线方程为A．2x－y－1＝0B．2x－y－2＝0C．x＋2y＋2＝0D．2x－y＋1＝0解析与直线y＝－x＋1垂直的直线的斜率为k＝2.由y＝x2知，y′＝lim＝lim(2x＋Δx)＝2x.设点P的坐标为(x0，y0)，则2x0＝2，即x0＝1，故y0＝1.1所以在点P处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.答案A6．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为A．(－2，－8)B．(－1，－1)或(1，1)C．(2，8)D．(－，－)解析设点P的坐标为(x0，y0)，则k＝f′(x0)＝lim＝lim＝lim[(Δx)2＋3x＋3x0·Δx]＝3x.∵k＝3，∴3x＝3，∴x0＝1或x0＝－1，∴y0＝1或y0＝－1.∴点P的坐标为(－1，－1)或(1，1)．答案B二、填空题(每小题5分，共15分)7．曲线y＝－1在点A处的切线的斜率为________．解析Δy＝－＝＝，∴＝－，即k＝lim＝lim＝－.答案－8．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝x3＋ax＋3相切于点(1，4)，则a＝________．解析由于切点(1，4)在曲线y＝x3＋ax＋3上，∴4＝13＋a＋3，∴a＝0.答案09．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于________．解析因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.答案3三、解答题(共35分)10．(10分)已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点处的切线方程．解析由方程组得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1，4)，又＝Δx＋2.当Δx趋于0时Δx＋2趋于2.所以在点(1，4)处的切线斜率k＝2.所以切线方程为y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.11．(10分)求抛物线y＝x2上的一点到直线x－y－2＝0的最短距离．解析根据题意可得，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)．根据定义可求导数y′|x＝x0＝2x|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为.切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝.所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.12．(15分)已知点M(0，－1)，F(0，1)，过点M的直线l与曲线y＝x3－4x＋4在x＝2处2的切线平行．(1)求直线l的方程；(2)求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程．解析(1)y＝f(x)＝x3－4x＋4，∴f′(2)＝lim＝lim＝lim＝0，∴曲线y＝x3－4x＋4在x＝2处的切线斜率为0，而l与此切线平行，故l的斜率也为0.又l过点M(0，－1)，∴直线l的方程为y＝－1.(2)因为抛物线以点F(0，1)为焦点，y＝－1为准线，设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则＝1，p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y.3
