专题能力训练12空间几何体一、选择题1.如图,一个简单组合体的正视图和侧视图相同,是由一个正方形与一个正三角形构成,俯视图中,圆的半径为.则该组合体的表面积为()A.15πB.18πC.21πD.24π2.(2014山东实验中学高三模拟)如图,一个“半圆锥”的正视图是边长为2的正三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是半圆及其圆心,这个几何体的体积为()A.B.C.2πD.π3.已知正三棱柱(底面为等边三角形且侧棱垂直于底面)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()A.3B.C.1D.4.如图,在半径为3的球面上有A,B,C三点,∠ABC=90°,BA=BC,球心O到平面ABC的距离是,则B,C两点的球面距离是()A.B.πC.D.2π5.(2014辽宁大连双基考试)如图,在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图,则该多面体的体积为()A.15B.13C.12D.96.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,动点E,F在棱A1B1上,点Q是棱CD的中点,动点P在棱AD上.若EF=2,DP=m,A1E=n(m,n大于0),则三棱锥P-EFQ的体积()A.与m,n都有关B.与m,n都无关C.与m有关,与n无关D.与n有关,与m无关二、填空题7.若某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m),则该几何体的体积为m3.8.(2014四川成都二诊)如图所示的正三角形是一个圆锥的侧视图,则这个圆锥的侧面积为.侧视图9.设OA是球O的半径,Q是OA的中点,过Q且与OA与45°角的平面截球O的表面得到圆C,若圆C的面积等于,则球O的表面积等于.三、解答题10.某高速公路收费站入口处的安全标志墩如图①所示.墩的上半部分是四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图②,图③分别是该标志墩的正视图和俯视图.(1)请画出该安全标志墩的侧视图;(2)求该安全标志墩的体积;(3)证明:直线BD⊥平面PEG.11.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°.已知PB=PD=2,PA=.(1)求证:PC⊥BD;(2)若E为PA的中点,求三棱锥P-BCE的体积.12.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是直角梯形ABCD,其中AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面PAD是边长为2的等边三角形,且与底面ABCD垂直,E为PA的中点.(1)求证:DE∥平面PBC;(2)求三棱锥A-PBC的体积.答案与解析专题能力训练12空间几何体1.C解析:由三视图可知,该几何体是圆锥与等底面的圆柱组合而成的组合体,所以该几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积的和,所以该几何体的表面积为S=π××2+2π××2+π×()2=21π.2.B3.C解析:因为D是等边△ABC的边BC的中点,所以AD⊥BC.又ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以AD⊥平面BB1C1C.又四边形BB1C1C为矩形,所以×2×.又AD=2×,所以·AD==1.故选C.4.B解析:因为AC是小圆的直径,所以过球心O作小圆的垂线,垂足O'是AC的中点.O'C=,AC=3,所以BC=3,即BC=OB=OC.所以∠BOC=,则B,C两点的球面距离为×3=π.5.B解析:该题中的几何体的直观图如图所示,其中底面ABCD是一个矩形(其中AB=5,BC=2),棱EF∥底面ABCD,且EF=3,直线EF到底面ABCD的距离是3.连接EB,EC,则题中的多面体的体积等于四棱锥E-ABCD与三棱锥E-FBC的体积之和,而四棱锥E-ABCD的体积等于×(5×2)×3=10,三棱锥E-FBC的体积等于×2=3,因此题中的多面体的体积等于10+3=13,故选B.6.C解析: DC∥A1B1,EF=2,∴S△EFQ=×2×4=4(定值).三棱锥P-EFQ底面EFQ上的高为点P到平面A1DCB1的距离,为DP·sin45°=m,∴VP-EFQ=×4m=m.7.4解析:这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这条边上的高为3,体积等于×2×4×3=4.8.2π解析:由题图可知,圆锥的母线l长为2,高为,底面圆的半径为1,所以圆锥的侧面积为×2×2π=2π.9.8π10.解:(1)侧视图同正视图,如图所示.(2)该安全标识墩的体积为V=VP-EFGH+VABCD-EFGH=×402×60+402×20=32000+32000=64000(cm3).(3)证明:如图,连接EG,HF及BD,EG与HF相交于点O,连接PO.由题图易知PO⊥平面EFGH,∴PO⊥HF.又EG⊥HF,PO∩EG=O,∴HF⊥平面PEG.又BD∥HF,∴BD⊥平面PEG.11.(1)证明:连接AC,交BD于点O,连接PO.因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,BO=DO.由PB=PD知,PO⊥BD.再由PO∩AC=O知,BD⊥平面APC,因此BD⊥PC.(2)解:因为E是PA的中点,所以VP-BCE=VC-PEB=VC-PAB=VB-APC.由PB=PD=AB=AD=2知,△ABD≌△PBD.因为∠BAD=60°,所以PO=AO=,AC=2,BO=1.又PA=,PO2+AO2=PA2,即PO⊥AC,故S△APC=PO·AC...
