专题2.3妙解等差数列一、典例分析，融合贯通典例1在等差数列中，前项和为,求【解法1】（公式法）根据,得,即①,即②.由①②得,,带入到中，得.【点睛之笔】在等差数列中，首项和公差是数列的灵魂【解法2】（对称性质法）,=.,所以,由等差数列性质可知.【点睛之笔】巧用性质，避开计算！【解法3】（二级结论法1）我们知道在在等差数列中，,所以,由等差数列通项公式可知是等差数列.设数列的公差为,则,=,，所以.【点睛之笔】隐形结论，神来之笔！【解法4】（二级结论法2）在等差数列中：是等差数列，可以用到本题中.解法3设数列,则为等差数列，公差为D,前n项和为,则=100，，，可以求出，.【点睛之笔】巧用性质，提速神器.【解后反思】解法1：本题也可以设,通过已知条件求出A和B，进一步求出.解法4：通过解法4可以使学生掌握等差数列的一个性质:是等差数列，这个在很多试题里都能用到,应该灵活掌握.典例2差数列前n项和为，已知，当最大时，n的值是()(A)5(B)6(C)7(D)8【解法1】【通项公式法】由可得，把代入得，故，，时，最大.【点睛之笔】通项公式数列之根本！【解法2】【前n项和法】.由可得，把代入得，故，根据二次函数性质，当n=7时，最大【点睛之笔】化通项公式为二次函数！【解法3】【性质法】由得，根据等差数列性质可得，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到，故时，最大.【点睛之笔】巧用性质妙解试题！【解法4】【对称性质】根据,，知这个数列的公差不等于零.由于根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当时，只有时，取得最大值.【点睛之笔】二次函数显神威！【解后反思】典例3若等差数列满足，则的最大值为____________.【解法1】（首项公差法）由，得，于是.由，得.∵，∴，∴令，得.∴.【点睛之笔】首项和公差是解决等差数列的万能钥匙！【解法2】(三角换元法)令，得，从而.【点睛之笔】巧妙利用三角函数的有界性！.【解法3】数形结合∵，将它看作直线与圆相交或相切，∴【点睛之笔】数形结合是提高解题速度的秘密武器！【解后反思】解法1：在等差数列中，求等差数列的首项和公差是通法!解法2：利用进行三角换元是本题的妙手！解法3：利用点到直线距离化成线性规划问题求解，值得尝试！二、精选试题，能力升级1已知等差数列前9项的和为27,,则（）（A）100（B）99（C）98（D）97【答案】C【解析】试题分析：由已知,所以故选C.2.已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（）A.B.C.D.【答案】B.3等差数列的前项和，若，则()【答案】C【解析】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.4.设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.5.已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝S4，则等于()A.4B.5C.8D.10【答案】A【解析】由a10＝S4得a1＋9d＝4a1＋d＝4a1＋6d，即a1＝d≠0.∴S8＝8a1＋d＝8a1＋28d＝36d，∴＝＝＝4.6已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4000，O为坐标原点，点P(1，an)，Q(2011，a2011)，则OP·OQ等于()A.2011B.－2011C.0D.1【答案】A7等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得an＞0的最小正整数n为()A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】法一S13＝＝0，a13＝－a1＝12，d＝＝2，故an＝a1＋(n－1)d＝2n－14，解an＞0，得n＞7，故使an＞0的最小正整数n为8.法二S13＝＝13a7＝0，得a7＝0，故a8＞0，故an＞0的最小正整数为n＝8.8已知函数f(x)＝cosx，x∈(0，2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m等于()A.B.－C.D.－【答案】D【解析】若m＞0，则公差d＝－＝π，显然不成立，所以m＜0，则公差d＝＝.所以m＝cos＝－，故选D.9已知an＝，把数列{an}的各项排列成如下的三角形形状，记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(10，12)＝()a1a2a3a4a5a6a7a8a9……A.B.C.D.【答案】A10已知等差数列{an}满足a1＞0，5a8＝8a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为()A.20B.21C.22D.23【解析】由5a8＝8a13得5(a1＋7d)＝8(a1＋12d)⇒d＝－a1，由an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)≥0，得n≤＝21，∴数列{an}前21项都是正数，以后各项都是负数，故Sn取最大值时，n的值为21.
