【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第1章常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词学业分层测评苏教版选修2-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．下列命题：①所有的菱形都是平行四边形；②每一个三角形的内角和都是180°；③有些偶数不能被5整除；④一切平行四边形的对边都平行且相等；⑤至少有一个x，使得2x＞1.其中是存在性命题的为________(填序号)．【解析】①②④是全称命题，③⑤是存在性命题．【答案】③⑤2．下列全称命题中真命题的个数为________个．①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.【解析】容易判断①②③正确，④中，当x＝y＝0时不成立．【答案】①②③3．用符号“∀”或“∃”表示下面含有量词的命题．(1)实数的平方大于或等于0：_______________________________________；(2)存在一对实数，使3x－2y＋1≥0成立：_____________________________.【答案】(1)∀x∈R，x2≥0(2)∃x0，y0∈R,3x0－2y0＋1≥04．(2016·扬州高二检测)命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是________．【解析】因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是“∃x＞0，x2＋x≤0”．【答案】∃x＞0，x2＋x≤05．(2016·威海高二检测)已知命题p：∃x∈R，x＞sinx，则p的否定形式为________．【解析】因为存在性命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x∈R，x＞sinx的否定形式为：∀x∈R，x≤sinx.【答案】∀x∈R，x≤sinx6．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】因为x>3时，x>a恒成立，所以a≤3.【答案】(－∞，3]7．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________.【导学号：09390015】【解析】由条件知，“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，即(a－1)2－4<0，解得－1
0.【解析】根据含有一个量词的命题的否定知③错误．【答案】③二、解答题9．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(2)p：每一个非负数的平方都是正数；(3)p：存在一个三角形，它的内角和不等于180°；(4)p：有的四边形没有外接圆；(5)p：某些梯形的对角线互相平分．【解】(1)非p：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．(2)非p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题．(3)非p：任意三角形的内角和都等于180°，真命题．(4)非p：所有的四边形都有外接圆，假命题．(5)非p：所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．【解】法一由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0或4＋4a＋2－a＞0.整理得a＞－3或a＞－2，即a＞－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．法二非p：∀x∈1,2]，x2＋2ax＋2－a＞0无解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则即解得a≤－3.故命题p中，a＞－3.即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．能力提升]1．已知命题p：“a＝1”是“∀x>0，x＋≥2”的充要条件，命题q：∃x∈R，x2＋x－1>0.则下列结论中正确的是________．①命题“且q”是真命题；②命题“且非q”是真命题；③命题“非且q”是真命题；④命题“非p或非q”是假命题．【解析】当a＝1时，x>0有x＋≥2成立，取a＝2时x>0有x＋≥2>2，故p是假命题；q是真命题，故①错误，②错误，③正确，④错误．【答案】③2．(2015·山东高考)若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．【解析】由题意，原命题等价于tanx≤m在区间上恒成立，即y＝tanx在上的最大值小于或等于m，又y＝tanx在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.【答案】13．给...
