课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1．(2018·皖南八校联考)下列命题中，真命题是()A．存在x0∈R，sin2＋cos2＝B．任意x∈(0，π)，sinx>cosxC．任意x∈(0，＋∞)，x2＋1>xD．存在x0∈R，x＋x0＝－1解析：对于A选项：∀x∈R，sin2＋cos2＝1，故A为假命题；对于B选项：存在x＝，sinx＝，cosx＝，2＋>0恒成立，C为真命题；对于D选项：x2＋x＋1＝2＋>0恒成立，不存在x0∈R，使x＋x0＝－1成立，故D为假命题．答案：C2．已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．綈p∧綈qC．綈p∧qD．p∧綈q解析：因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q，綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q，綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题．答案：D3．(2018·南昌模拟)下列说法错误的是()A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”B．若命题p：存在x0∈R，x＋x0＋1<0，则綈p：对任意x∈R，x2＋x＋1≥0C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥2”的充要条件D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假解析：由原命题与逆否命题的关系知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy≥2⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．答案：D4．(2018·天津十二县区联考)下列命题中真命题的个数是()①若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；②命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∃x0∈R，x－x＋1>0”；③若p：x≤1，q：<1，则綈p是q的充分不必要条件．A．0B．1C．2D．3解析：本题考查逻辑联结词、命题的否定、充要条件的判定．对于①，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个是假命题，但不一定p，q都是假命题，①为假命题；对于②，命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∃x0∈R，x－x＋1>0”，②为真命题；对于③，綈p为x>1，由<1得x<0或x>1，所以綈p是q的充分不必要条件，③为真命题，故选C.根据相关知识逐一判断各命题的真假性是解题的关键．答案：C5．(2018·东北三省四市联考模拟)已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cosx是偶函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧qD．p∧(綈q)解析：本题考查命题真假的判定．命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cosx，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cosx＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cosx是偶函数，所以q是真命题，所以p∧q是真命题，故选A.答案：A6．(2018·湖北黄冈二模)下列四个结论：①若x>0，则x>sinx恒成立；②命题“若x－sinx＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sinx≠0”；③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x－lnx>0”的否定是“∃x0∈R，x0－lnx0<0”．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：对于①，令y＝x－sinx，则y′＝1－cosx≥0，则函数y＝x－sinx在R上递增，则当x>0时，x－sinx>0－0＝0，即当x>0时，x>sinx恒成立，故①正确；对于②，命题“若x－sinx＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sinx≠0”，故②正确；对于③，命题p∨q为真即p，q中至少有一个为真，p∧q为真即p，q都为真，可知“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x∈R，x－lnx>0”的否定是“∃x0∈R，x0－lnx0≤0”，故④错误．综上，正确结论的个数为3，故选C.答案：C7．(2018·广东深圳三校联考)已知命题p：不等式ax2＋ax＋1>0的解集为R，则实数a∈(0,4)，命题q：“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是()A．p∧qB．p∧(綈q)C．(綈p)∧(綈q)D．(綈p)∧q解析：命题p：a＝0时，可得1>0恒成立；a≠0时，可得解得0
