专题限时集训(十四)导数1．(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－2，则f′(x)＝ex－1
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)f′(x)＝ex－a
当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故f(x)至多存在1个零点，不合题意．当a>0时，由f′(x)＝0可得x＝lna．当x∈(－∞，lna)时，f′(x)0
所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．故当x＝lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)＝－a(1＋lna)．(ⅰ)若0，则f(lna)0，所以f(x)在(－∞，lna)存在唯一零点．由(1)知，当x>2时，ex－x－2>0，所以当x>4且x>2ln(2a)时，f(x)＝e·e－a(x＋2)>eln(2a)·－a(x＋2)＝2a>0
故f(x)在(lna，＋∞)存在唯一零点．从而f(x)在(－∞，＋∞)有两个零点．综上，a的取值范围是，＋∞
2．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知函数ƒ(x)＝aex－1－lnx＋lna
(1)当a＝e时，求曲线y＝ƒ(x)在点(1，ƒ(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若ƒ(x)≥1，求a的取值范围．[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1－
(1)当a＝e时，f(x)＝ex－lnx＋1，f(1)＝e＋1，f′(1)＝e－1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2
直线y＝(e－1)x＋2在x轴，y轴上的截距分别为，2
因此所求三角形的面积为××2＝
