高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 函数的最大(小)值与导数习题 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

第一章1.31.3.3函数的最大(小)值与导数A级基础巩固一、选择题1．(2018·潍坊高二检测)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)(D)A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值[解析] 函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，∴[x2f(x)]′＝，令F(x)＝x2f(x)，则f′(x)＝，F(2)＝4·f(2)＝．由x2f′(x)＋2xf(x)＝，得f′(x)＝，令φ(x)＝ex－2F(x)，则φ′(x)＝ex－2f′(x)＝．∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0．∴φ(x)≥0．又x＞0，∴f′(x)≥0．∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D．2．(2018·新乡一模)若函数f(x)＝－x2＋ax＋2lnx在(1,2)上有最大值，则a的取值范围为(B)A．(0，＋∞)B．(0,3)C．(3，＋∞)D．(1,3)[解析]f′(x)＝－2x＋a＋＝要使函数f(x)＝－x2＋ax＋2lnx在(1,2)上有最大值则函数f(x)＝－x2＋ax＋2lnx在(1,2)上有极大值即方程－2x2＋ax＋2＝0有两个不等实根，且较大根在区间(1,2)∴，解得0＜a＜3．故选B．3．(2017·临沂高二检测)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是(A)A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16[解析]令y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A．4．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)x－，令y＝x－，∴y是单调增函数，若x>0，则y>－1，∴a>－1．6．已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是(B)A．3x－15y＋4＝0B．15x－3y－2＝0C．15x－3y＋2＝0D．3x－y＋1＝0[解析] f(x)＝－x3＋2ax2＋3x，∴f′(x)＝－2x2＋4ax＋3＝－2(x－a)2＋2a2＋3， f′(x)的最大值为5，∴2a2＋3＝5， a>0，∴a＝1∴f′(1)＝5，f(1)＝．∴f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是y－＝5(x－1)，即15x－3y－2＝0．二、填空题7．(2018·荆州一模)函数f(x)＝x3－x2＋2在(0，＋∞)上的最小值为．[解析]函数f(x)＝x3－x2＋2在(0，＋∞)，可得f′(x)＝3x2－2x，令3x2－2x＝0，可得x＝0或x＝，当x∈(0，)时，f′(x)＜0，函数是减函数；x∈(，＋∞)时，f′(x)＞0，函数是增函数，所以x＝是函数的极小值即最小值，所以f(x)min＝()3－()2＋2＝．故答案为．8．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[解析]f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0．因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1．三、解答题9．设函数f(x)＝x2－ax＋2lnx(a∈R)在x＝1时取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析](1)f′(x)＝x－a＋，因为当x＝1时f(x)取得极值，所以f′(1)＝0，即1－a＋2＝0，解得a＝3，经检验，符合题意．(2)由(1)得：f(x)＝x2－3x＋2lnx，∴f′(x)＝x－3＋＝，(x>0)，令f′(x)>0解得02，令f′(x)<0解得1