四弦切角的性质更上一层楼基础·巩固1如图2-4-8，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB=25°，则∠ADC为()A.105°B.115°C.120°D.125°图2-4-8思路解析:连结AC，构造出夹圆周角∠ADC所对弧的弦切角，即∠PCA，而∠PCA显然等于∠PCB加上一个直角，由此即得结果.答案:B2如图2-4-9，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC的长为()图2-4-9A.2B.3C.32D.4思路解析:连结BC，构造出弦切角所对的圆周角，由已知有△ADC与△ACB相似，所以可得ABACACAD，代入数值得关于AC的方程.答案:C3如图2-4-10，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线.1图2-4-10求证：(1)如果AB∥CD，那么AM=MB；(2)如果AM=BM，那么AB∥CD.思路分析:本题的两个问题互为逆命题，利用弦切角在中间起桥梁作用，如第（1）题，由平行得∠B=∠DMB，由弦切角得∠DMB=∠A，于是有∠A=∠B.证明:(1)CD切⊙O于M点，∴∠DMB=∠A，∠CMA=∠B.∵AB∥CD，∴∠CMA=∠A.∴∠A=∠B.∴AM=MB.(2)∵AM=BM，∴∠A=∠B.∵CD切⊙O于M点，∴∠DMB=∠A，∠CMA=∠B.∴∠CMA=∠A.∴AB∥CD.4如图2-4-11，四边形ABED内接于⊙O，AB∥DE，AC切⊙O于A，交ED延长线于C.求证：AD∶AE=DC∶BE.图2-4-11思路分析:求证成比例的四条线段正好在两个三角形△ACD和△ABE中，所以只要证明△ACD∽△ABE即可.证明:∵四边形ABED内接于圆，∴∠ADC=∠ABE.∵AC是⊙O的切线，∴∠CAD=∠AED.∵AB∥DE，∴∠BAE=∠AED.∴∠CAD=∠BAE.∴△ACD∽△ABE.∴AD∶AE=DC∶BE.综合·应用5如图2-4-12，P为⊙O的直径CB延长线上的一点，A为⊙O上一点，若=，AE交BC于D，且∠C=21∠PAD.图2-4-12(1)求证：PA为⊙O的切线；(2)若∠BEA=30°，BD=1，求AP及PB长.思路分析:对于（1），A已经是圆上一点，所以可以连结OA，证明PA与OA垂直；对于（2），将2∠E利用圆周角定理转移到Rt△ODA和Rt△OAP中，解直角三角形即可得到线段AP及PB的长.（1）证明:连结AO，∵=，BC为直径，∴AE⊥BC，AD=DE，=.∵OA=OC，∴∠C=∠3.∴∠1=2∠C.又∵∠C=21∠PAD，∴∠1=∠2.∵∠1＋∠4=90°，∴∠2＋∠4=90°.∴PA⊥OA.∴PA为⊙O的切线.（2）解:在Rt△EBD中，∵∠BEA=30°，BD=1,∴BE=2，DE=3.在Rt△ODA和Rt△EBD中,∠4=90°-∠1=90°-2∠C=90°-2∠E=30°=∠E，∠ODA=∠BDE，AD=ED，∴Rt△ODA≌Rt△EBD.∴AD=DE=3，OD=BD=1，OA=BE=2.在Rt△OAP中，∵AD⊥OP，∴AD2=OD·DP，即(3)2=1·DP.∴DP=3.∴BP=2.在Rt△ADP中，根据勾股定理，得AP=323)3(2222DPAD.6如图2-4-13，已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，∠ACB的平分线CD交AE于F点，交AB于D点.图2-4-13(1)求∠ADF的度数.(2)若∠ACB的度数为y度，∠B的度数为x度，那么y与x之间有怎样的关系？试写出你的猜测并给出证明.(3)若AB=AC，求AC∶BC.思路分析:（1）中由AC为⊙O切线可得∠B=∠EAC，由CD平分∠ACB可得∠ACD=∠DCB，根据三角形外角定理，得到∠ADF=∠AFD，建立等腰三角形，再由顶角求底角；（2）中则利用三角形内角和定理得到方程，获得关系；（3）中求线段的比值，利用△ACE∽△ABC可得.解:（1）∵AC为⊙O切线，∴∠B=∠EAC.3∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB.∴∠B＋∠DCB=∠EAC＋∠ACD，即∠ADF=∠AFD.∵BE为⊙O直径，∴∠DAE=90°.∴∠ADF=21(180°-∠DAE)=45°.（2）∵∠B=∠EAC，∠B＋∠BAC＋∠ACB=180°,∴x＋90＋x＋y=180.∴y=90-2x.∵0<∠B<∠ADC，∴0
