高中数学 第二章 随机变量及其分布 2-3-1 离散型随机变量的均值随堂达标验收 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP专享VIP免费

2-3-1离散型随机变量的均值1．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值是()A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.64[解析]因为ξ～B(n,0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，故有0.6n＝3，解得n＝5，P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.[答案]C2．设ξ的分布列为ξ1234P又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于()A.B.C.D.[解析]E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.[答案]D3．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是()A．20B．25C．30D．40[解析]抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝，所以X～，故E(X)＝80×＝25.[答案]B4．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x123P(ξ＝x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.[解析]令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1，∴E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.[答案]2课内拓展课外探究1．常用分布的均值(1)两点分布由数学期望的定义可以知道，若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝1×p＋0×(1－p)＝p，这表明在一次两点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p.已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝0)＝0.7，则E(ξ)＝()A．0.3B．0.6C．0.7D．1[解析]根据题意知随机变量ξ服从两点分布，所以E(ξ)＝0.3[答案]A[点评]两点分布的随机变量的取值为0,1，均值E(ξ)＝p×1＋(1－p)×0＝p.1(2)二项分布设离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，由X的分布列P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0,1,2，…，n和数学期望的定义式得到E(X)＝0×Cp0qn＋1×Cp1qn－1＋2×Cp2qn－2＋…＋k·Cpkqn－k＋…＋n·Cpnq0＝np·(Cp0qn－1＋Cp1qn－2＋…＋Cpk－1·q(n－1)－(k－1)＋…＋Cpn－1q0)＝np(p＋q)n－1＝np，所以E(X)＝np.注意：在上述证明中运用了公式kC＝nC.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)．[解](1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6.P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8.(3)超几何分布若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.注意：超几何分布的期望公式证明如下：2由公式kC＝nC立刻可以得到C＝C.下面我们来求超几何分布的期望，设随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则X的分布列为P(X＝m)＝(m＝0,1，…，l，l为n和M中较小的一个)．同二项分布类比，我们猜想它的期望可能是n·.由数学期望的定义式得E(X)＝·P(X＝m)＝·＝＝·C··＝n···＝n···(令m－1＝i)＝n·.上式中C·可以看作N－1件产品中有n－1件次品，从中任取M－1件(M≤N)，其中恰有i件次品的概率，所以对于i＝0,1，…，l－1求和得1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，(1)求X的均值；(2)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．[解]解法一：(1)依题意知，X的可能取值为0、1、2，且P(X＝k)＝，k＝0,1,2，故X的分布列如下表所示.X012P从而E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.(2)P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.解法二：(1)依其数学模型知，X服从超几何分布，且n＝2，M＝3，N＝6，则E(X)＝＝＝1.(2)P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－＝1－＝.[点评]解法二直接应用超几何分布的均值公式，使计算更为简单．3