高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨章末复习课 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学试题VIP免费

【金版学案】2016-2017学年高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨章末复习课新人教A版选修4-1[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．一个易错点：不理解正射影的概念当图形较复杂时，特别是投影面不是水平放置时，如果观察图形不细致，空间想象力不强，不理解投影的概念就会出错．2．一个疑难点：确定截线椭圆的参量当已知斜截面与圆柱面的母线或直截面的交角时，我们可以确定椭圆的各个参量．如设斜截面与圆柱面的母线的交角为φ，圆柱面的半径为r，则截线椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝2r，离心率e＝cosφ，焦距2c＝2acosφ.专题一平行射影问题一个平面图形在一个平面上的平行射影与投影方向和投影面有关．画一个图形的平行射影应先找出图形关键点的平行射影．正射影是平行射影的一种特殊情况．准确理解正射影的概念，能根据题意准确确定点、线、面的正射影．[例1]如图所示，边长为20的正三角形ABC的顶点A在平面α内，B，C在平面α同侧，且B，C在平面α上的正射影分别为D，E，且BD＝10，CE＝5，求△ABC所在平面和平面α所成的二面角的大小．解：由正射影的性质得BD∥CE，且B，D，C，E共面．因为BD≠CE，所以BC，DE必相交，设交点为F.因为DE⊂α，所以F∈α.因为BC⊂平面ABC，所以F∈平面ABC，所以F是平面ABC和平面α的公共点．因为A是平面ABC和平面α的公共点，所以平面ABC∩平面α＝AF.在△BDF中，因为BD∥CE，BD＝2CE，1所以CF＝BC.又因为△ABC为正三角形，所以CF＝AC，∠ACF＝120°，所以∠CAF＝30°，所以∠BAF＝∠BAC＋∠CAF＝60°＋30°＝90°，所以BA⊥AF，故DA⊥AF，所以∠BAD是△ABC所在平面和平面α所成的二面角的平面角．在Rt△ABD中，AB＝20，BD＝10，所以∠BAD＝30°，所以△ABC所在平面和平面α所成的二面角的大小为30°.[变式训练]一个圆在平面α上的正射影是什么图形？解：(1)圆所在平面与投影平面平行，圆的射影仍然是圆．(2)圆所在平面与投影平面垂直，圆的射影是线段．(3)圆所在平面与投影平面斜交，圆的射影是椭圆．专题二平面与圆柱面、圆锥面的截线问题1．平行于圆柱底面的平面截圆柱所得截线是圆，用平面斜截圆柱面所得截线是椭圆，可以用Dandelin双球去研究椭圆的有关性质．这里要注意双球与斜截面的切点是椭圆的焦点，球的直径就是椭圆的短轴长．2．当已知斜截面与圆柱面的母线或轴的交角时，我们可以确定椭圆的各个参量．如设斜截面与圆柱面的母线的交角为φ，圆柱面的半径为r，则截线椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝2r，离心率e＝cosφ，焦距2c＝2acosφ.3．设圆锥轴截面母线与轴的夹角为α，截面和圆锥轴的夹角为θ，当截面不过顶点时：(1)当θ＝α时，截线是抛物线．(2)当α<θ<时，截线是椭圆，特别地，当θ＝时，截线是圆．(3)当0≤θ<α时，截线是双曲线，圆锥曲线的有关问题，可以利用Dandelin双球进行探究．[例2]已知圆柱的底面半径是2，平面α与圆柱母线的夹角为30°，求截口椭圆的离心率和焦距．解：椭圆的离心率e＝cos30°＝.如图所示，过G2作G2H⊥AD于点H.在Rt△G1HG2中，∠HG1G2＝30°，HG2＝4.所以G1G2＝2HG2＝8.所以截口椭圆的长轴长2a＝G1G2＝8，短轴长2b＝4.所以焦距2c＝2＝2＝4.[变式训练]已知一圆锥面的顶角为90°，嵌入两球的半径分别为和7，试确定截线的圆锥曲线的长轴(或实轴)长、短轴(或虚轴)长和截面与轴的夹角．2解：(1)若嵌入两球在圆锥顶点的同侧，则截线为椭圆，如图所示的是其轴截面．OO′＝＝(7－)×＝12，CD＝O′D－OC＝6，所以椭圆的长轴长为6.设AB与OO′的夹角为φ，则sinφ＝＝＝，故截面与轴的夹角为arcsin，椭圆的离心率e＝＝×＝，所以椭圆的短轴长为6×＝2.(2)若两球在圆锥顶点的两侧，则截线为双曲线．如图所示的是其轴截面．OO′＝＝(7＋)×＝16，CD＝＝＝2.所以双曲线的焦距为2.设截面与轴的夹角为φ，即CD与OO′的夹角为φ.所以cosφ＝＝，所以截面与轴的夹角为arccos.所以双曲线的离心率e＝＝.所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为2.专题三方程思想在平面与圆柱面、圆锥面的截线中，存在着大量的数量关系，在求某个量时，有时就可采用方程的思想建立关于该量的方程，利用方程求解．[例3]已知圆锥的母线长为l，底面半径...