1.5平面直角坐标系中的距离公式课后篇巩固探究1.已知点M(-1,3),N(5,1),若点P(x,y)到点M,N的距离相等,则x,y满足的条件是()A.x+3y-8=0B.x-3y+8=0C.x-3y+9=0D.3x-y-4=0解析由|PM|=|PN|,得❑√(x+1)2+(y-3)2=❑√(x-5)2+(y-1)2,化简得3x-y-4=0.答案D2.若点(1,a)到直线y=x+1的距离是3❑√22,则实数a为()A.-1B.5C.-1或5D.-3或3解析∵点(1,a)到直线y=x+1的距离是3❑√22,∴|1-a+1|❑√2=3❑√22,即|a-2|=3,解得a=-1或a=5.∴实数a的值为-1或5.故选C.答案C3.已知两直线2x+3y-3=0与mx+6y+1=0平行,则两直线间的距离等于()A.2❑√1313B.5❑√1326C.7❑√1326D.4解析∵直线2x+3y-3=0的斜率k1=-23,直线mx+6y+1=0的斜率k2=-m6,由-23=-m6,得m=4,∴两直线间的距离d=|-6-1|❑√42+62=7❑√1326.答案C4.过两直线x-❑√3y+1=0和❑√3x+y-❑√3=0的交点,且与原点间的距离等于1的直线共有()A.0条B.1条C.2条D.3条答案B5.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为()A.95B.185C.2910D.295解析因为36=48≠-125,所以两直线平行,由题意可知,|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即|-24-5|❑√62+82=2910,所以|PQ|的最小值为2910.答案C6.若在△ABC中,顶点坐标分别为A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于.解析设AB边上的高为h,则S△ABC=12|AB|·h.|AB|=❑√(3-1)2+(1-3)2=2❑√2,AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在直线的方程为y-31-3=x-13-1,即x+y-4=0.点C(-1,0)到x+y-4=0的距离h=|-1+0-4|❑√12+12=5❑√2.因此,S△ABC=12×2❑√2×5❑√2=5.答案57.若直线l经过点A(5,10),且坐标原点到直线l的距离为10,则直线l的方程是.解析①k存在时,设直线方程为y-10=k(x-5),∴10=|10-5k|❑√1+k2.∴k=-43或k=0.∴y-10=-43(x-5)或y=10.②k不存在时,x=5不符合题意.综上所述,所求直线为4x+3y-50=0或y=10.答案4x+3y-50=0或y=108.直线l在直线m:x+y+1=0的上方,且l∥m,它们的距离是❑√2,则直线l的方程是.解析根据题意可设直线l的方程是x+y+c=0(c<1),则|c-1|❑√2=❑√2,所以c=-1或c=3(舍去).所以直线l的方程是x+y-1=0.答案x+y-1=09.已知x,y满足x+y+1=0,求x2+y2-2x-2y+2的最小值.解原式可化为(x-1)2+(y-1)2,其几何意义为点P(x,y)和点Q(1,1)间距离的平方,而点(x,y)在直线x+y+1=0上.设d为Q点到直线x+y+1=0的距离,由|PQ|≥d,得❑√(x-1)2+(y-1)2≥|1+1+1|❑√2,即x2+y2-2x-2y+2≥92.故所求最小值为92.10.已知正方形ABCD中,E,F分别是BC,AB的中点,DE,CF交于点G.求证:AG=AD.证明以点B为坐标原点,以BC为x轴,AB为y轴,建立如图所示的直角坐标系.设正方形边长为2,则B(0,0),C(2,0),A(0,2),E(1,0),F(0,1),D(2,2).直线DE的方程为y=2x-2,直线CF的方程为y=-12x+1,由{y=2x-2,y=-12x+1,解得{x=65,y=25,即点G(65,25).从而|AG|=❑√(65-0)2+(25-2)2=2=|AD|.11.导学号91134050已知点P(2,-1),求:(1)过点P,且与原点的距离为2的直线方程;(2)过点P,且与原点的距离最大的直线方程,并求出最大值;(3)是否存在过点P,且与原点的距离为6的直线?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.解(1)当斜率不存在时,方程x=2适合题意;当直线的斜率存在时,设为k,则直线方程应为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.根据题意|2k+1|❑√k2+1=2,解得k=34,所以直线方程为3x-4y-10=0.故所求直线方程应为x-2=0或3x-4y-10=0.(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程即为过点P且与OP垂直的直线,易求其方程2x-y-5=0,且最大距离d=❑√5.(3)由于原点到过点(2,-1)的直线的最大距离为❑√5,而6>❑√5,故这样的直线不存在.
