第一讲第三节柱坐标系与球坐标系一、选择题(每小题5分，共20分)1．在空间球坐标系中，方程r＝2表示()A．圆B．半圆C．球面D．半球面解析：当r＝2,0≤φ≤π，0≤θ<2π时表示半径为1的球面，但由于r＝2,0≤φ≤，0≤θ<2π故此方程表示半径为1的半球面．答案：D2．已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是()A．(1,0,0)B．(0,1,0)C．(0,0,1)D．(1，π，0)解析：利用公式进行公式转化：r＝＝1cosφ＝1，φ＝0；tanθ＝＝0，故θ＝0所以球坐标的(1,0,0)．答案：A3．某点的柱坐标为，则其直角坐标为()A．(1，，3)B．(，1,3)C．(1，－，3)D．(－，1,3)解析：由得即直角坐标为(，1,3)．答案：B4．已知点P的柱坐标为(，，5)，点B的球坐标为(，，)，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为()A．P点(5,1,1)，B点B．P点(1,1,5)，B点C．P点，B点(1,1,5)D．P点(1,1,5)，B点解析：球坐标与直角坐标的互化公式为柱坐标与直角坐标的互化公式为设P点的直角坐标为(x，y，z)，则x＝cos＝×＝1，y＝sin＝1，z＝5.设B点的直角坐标为(x，y，z)，则x＝sincos＝××＝，y＝sinsin＝××＝，z＝cos＝×＝.所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)15．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________.解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．答案：(－2,2,2)(2，，2)6．已知球坐标中，M，N，则|MN|＝________.解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，由得∴M的直角坐标为(1，，2)．同理N的直角坐标为(3，，2)，∴|MN|＝＝2答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7．在柱坐标系中，求满足，的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．解析：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如上图所示，是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱．圆柱的底面半径r＝1，h＝2，∴V＝Sh＝πr2h＝2π.8．设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R,45°，70°)，点B的坐标为(R,45°，160°)，求A、B两点的球面距离．解析：要求A、B两点间球面距离，要把它放到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的底数，就可求球面距离．如图，由点A、B的球坐标可知，这两个点都在北纬90°－45°＝45°圈上，设纬度圈的圆心为O′，地球中心为O，则∠xOQ＝70°，∠xOH＝160°，∴∠AO′B＝160°－70°＝90°.连接AO、AB，∵OB＝R，O′B＝O′A＝R，∴AB＝R.则AO＝BO＝AB＝R.∴∠AOB＝60°，＝·2πR＝πR.故A、B两点间的球面距离为πR.☆☆☆9．(10分)一只蚂蚁在一个母线与轴线夹角为的圆锥面上，从顶点出发盘旋着向上爬行，已知它上升的速度为v(v>0)，盘旋的角速度为ω(ω>0)，求t时刻蚂蚁所在的位置的球坐标．解析：如右图所示，取圆锥的顶点O为坐标原点，建立球坐标系，设t时刻蚂蚁在点M(r，φ，θ)，由题意，得θ＝ωt，z＝vt，φ＝，由于＝cosφ＝cos＝，于是r＝2z＝2vt，所以t时刻蚂蚁在球坐标系中位置为M，t∈[0，＋∞)．2
